Mathématiques · Lycée Bilingue de Mbouda · Classe : Tle C
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Arithmétique
I – Soit (E) l'équation d'inconnue x défini par : (E) : 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0 où u et v sont des entiers relatifs. 1. On suppose dans cette question que 14/39 est solution de (E) a) Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation 14u + 39v = 1129 0,5pt b) Vérifier que (-25; 9) est une solution de l'équation 14x + 39y = 1 0,25pt c) Résoudre alors dans Z² l'équation 14u + 39v = 1129 0,5pt 2. a) Déterminer l'ensemble des diviseurs de 78 et de 14 0,25pt b) Soit x une solution rationnelle de (E). Montrer que si p et q sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors p divise 14 et q divise 78 1pt c) En déduire les nombres rationnels non entiers pouvant être solution de (E). 0,5pt II – 1. Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que PGCD(a + b; ab) = p où p est un nombre premier. a) Démontrer que p divise a^2 (On pourra remarquer que a^2 = a(a + b) – ab ) 0,5pt b) En déduire que p divise a 0,5pt c) Montrer que PGCD(a; b) = p 0,5pt 2. On désigne par a et b deux entiers naturels tels que a <= b a) Résoudre le système { PGCD(a; b) = 5 PPCM(a;b) = 170 1,25pt b) En déduire les solutions du système { PGCD(a + b; ab) = 5 PPCM(a;b) = 170 0,25pt III - Soit n appartenant à N* ; A = 3n + 1 et B = 5n - 1 1. Montrer que PGCD(A; B) est un diviseur de 8 0,75pt 2. Déterminer l'ensemble des entiers n tel que PGCD(A; B) = 8 1pt
6 ptsExercice 2
Nombres complexes
I-1 Soient a, b et c trois complexes non nuls de même module et vérifiant a + b + c = 0 On pose p = a/b et q = b/c a) Prouver que |p| = |q| = 1 0,5pt b) Prouver que p + q = -1 0,5pt 2. En déduire que p = -1/2 + i*racine(3)/2 ou p = -1/2 - i*racine(3)/2 (on pourra poser que p = x + iy) 1pt 3. Soient (A, B et C) d'affixes respectives a, b et c a) Prouver que O est le centre de gravité du triangle ABC 0,5pt b) Prouver que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O 0,5pt II – Soit a un paramètre complexe non nul. On considère l'équation (E) : Z^2 – a(1 + i)Z + ia^2 = 0 1. a) Calculer (1 – i)^2 0,25pt b) Résoudre dans C l'équation(E) 1pt 2. On pose a = phi*e^(i*sigma) où phi > 0 et sigma appartenant à R a) Mettre les solutions Z1 et Z2 sous forme trigonométrique 0,5pt b) Prouver que Z1^(2n) + Z2^(2n) = a^(2n)(1 + (-1)^n) 0,5pt
5.25 ptsExercice 3
Géométrie dans l'espace
Soit (O; vecteur OA; vecteur OB; vecteur OC) un repère orthonormé direct de l'espace 1. Soit G le centre de gravité de ABC a) Déterminer les coordonnées de G 0,5pt b) Montrer que : (OG) est perpendiculaire à (ABC) 0,5pt 2. Soient A' (2; 0; 0); B'(0; 2; 0) et C'(0; 0; 3) a) Calculer le produit scalaire de vecteur A'B' et vecteur A'C' 0,5pt b) Déterminer une équation du plan (A'B'C') 0,25pt 3. Déterminer les coordonnées du point K intersection de (AC) et du plan (A'B'C') 0,75pt
2.5 ptsPartie B
Arithmétique
Partie B : EVALUATION DES COMPETENCES / 4,5points TCHINDA, étudiant, effectue un stage dans une entreprise qui produit trois types d'huiles végétales. L'huile de type A est prête toutes les 1h 15 min, l'huile de type B toutes les 25 min et l'huile de type C toutes les 45 min. Le dernier jour de son stage, les trois types d'huiles étaient prêts à 8 heures et TCHINDA veut savoir à quelles heures de la journée ces trois types d'huiles seront prêts à la fois pour la dernière fois pour arrêter son stage, sachant que l'entreprise ferme à 18 heures. Après la fermeture de l'entreprise, TCHINDA se rend à un spectacle. Le magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul suivant : «Prenez le nombre représentant le jour de votre naissance et multipliez – le par 12. Prenez le nombre représentant le mois de votre naissance et multipliez – le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner votre date d'anniversaire ».TCHINDA annonce 308 et quelques secondes après, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er Août ». Tâche 1 : A quelles heures TCHINDA doit – il arrêter son stage ? 1,5pt Tâche 2: Le magicien a – t – il raison ? 1,5pt Tâche3: Quelle est la date d'anniversaire de Sandra qui a annoncé 474? 1,5pt
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