Collège Saint · Joseph · Td Physique n° 7 Tle C, d, TI · Module 2, Lecon8 : Oscillateurs Mécaniques · Questions de Cour · Par M. Fotchou Merlin
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Évaluation de compétences
Oscillations
VII- Evaluation des compétences : sécurité routière Compétence visée: prévoir la vitesse critique d'un bus sur une route à ralentisseur type dos-d'âne et choisir son système de suspension {Ressort + d'amortisseur}.
Exercice 1
Oscillations
Questions de cours 1. Définir : oscillateur mécanique, période du mouvement, fréquence du mouvement, période propre, oscillations, vibrations, oscillations isochrones, oscillateur libre, oscillateur harmonique, oscillateur amorti, oscillateur forcé, résonance, excitateur, résonateur. 2. Enoncer les quatre lois du pendule simple 3. Quand dit-on que deux systèmes mécaniques sont synchrones ? 4. Répondre par vrai ou faux et justifier 4.1. Un oscillateur est en équilibre stable si, légèrement écarté de cet équilibre il tend à y revenir. 4.2. Un oscillateur harmonique possède une position d'équilibre. 4.3. Au cours des oscillations d'un pendule élastique non amortit, l'énergie potentielle se transforme intégralement en énergie cinétique et inversement. 4.4. La solution θ = f(t) n'est pas sinusoïdale pour l'équation différentielle d²θ/dt² + (mgl/JΔ) sinθ=0 car JΔ est une constante. 4.5. Les oscillations sont dites entretenues si à chaque instant on fournit à l'oscillateur une énergie égale à celle qu'il a perdue à cause des frottements. 4.6. Un pendule élastique peut être un oscillateur libre non amorti. 4.7. Pour qu'un pendule simple soit isochrone, il faut que ses oscillations soient de faible amplitude. 4.8. Le pendule simple est le seul oscillateur qui possède des oscillations isochrones. 4.9. Pour un pendule élastique horizontal, libre non amorti, lorsque l'énergie potentielle élastique est minimale, l'énergie cinétique est maximale. 4.10. Un oscillateur amorti peut être forcé par une excitation extérieure de fréquence quelconque. 4.11. La période de l'oscillateur forcé s'identifie à celle de l'oscillateur libre non amorti correspondant. 4.12. Un oscillateur libre amorti en régime pseudo périodique a exactement même période que celle de l'oscillateur libre non amorti correspondant. 4.13. Pour un oscillateur mécanique forcé, l'amplitude des oscillations ne dépend pas de la pulsation des impulsions délivrées par l'excitateur. 4.14. Le phénomène de résonance est lié à l'amortissement de l'oscillateur.
Exercice 10
Oscillations
Un système est constitué d'un grand cerceau de centre I, de rayon R = 10 cm et de masse M, puis d'un petit cerceau de centre J, de rayon r = R/2 et de masse m=M/2. Le petit cerceau est soudé au point K du grand cerceau tel que les points O, I, J, K sont alignés. Les deux cerceaux sont solidaires et appartiennent à un même plan vertical (Figure 1). Le système ainsi constitué est mobile autour d'un axe fixe horizontal (Δ) passant par le point O du grand cerceau. O est diamétralement opposé à K. 1. Montrer que la position du centre d'inertie G du système par rapport à l'axe (Δ) est donnée par la relation OG = (7/6) R et que le moment d'inertie du système par rapport à cet axe est JΔ = (13/4) mR². 2. On écarte le système d'un angle faible θ₀ à partir de sa position d'équilibre et on l'abandonne sans vitesse initiale. La position du centre d'inertie G à un instant t quelconque est donnée par l'angle θ que fait le vecteur OG avec le vecteur OG₀ (position d'équilibre stable). (Figure 2). 2.1. Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement du pendule en fonction de θ, θ₀,g et R. 2.2. Déterminer la longueur L du pendule simple synchrone à ce pendule pesant.
Exercice 11
Oscillations
Un pendule simple est constitué d'un fil inextensible et de longueur l = 1m. A l'une des extrémités du fil est fixée une bille supposée ponctuelle de masse m = 20g. On écarte légèrement le pendule de sa position d'équilibre stable d'un angle θm = 6° et on le lâche sans vitesse initiale. Le pendule oscille alors dans un plan vertical sans frottement. On prendra g = 9,8N.kg⁻¹. 1. En appliquant la RFD en rotation, déterminer la nature du mouvement du pendule. 2. Ecrire l'équation horaire du mouvement 3. Déterminer l'énergie mécanique du système (pendule + terre) à une position quelconque repérée par l'angle θ que fait le fil avec la verticale du lieu. On prendra comme référence des énergies potentielles de pesanteur la position la plus basse de la bille. 4. En déduire de l'équation différentielle du mouvement de la conservation de l'énergie mécanique. Calculer la valeur constante de cette l'énergie mécanique. 5. Calculer la vitesse linéaire de la bille et la tension du fil au passage par la verticale du lieu.
Exercice 12
Oscillations
Un pendule simple de longueur l=1m est constitué d'une masse ponctuelle m fixée à l'extrémité d'un fil inextensible de masse négligeable. L'autre extrémité étant fixée à un axe horizontal (Δ). On prendra g = 9,8N/kg. 1. Exprimer et calculer la période propre de ce pendule non amorti dans le cas des faibles amplitudes. 2. En déduire les lois de ce pendule simple. 3. En réalité, ce pendule subit un amortissement solide assez faible. 3.1 Représentez la courbe d'évolution de l'amplitude de ce pendule en fonction du temps. 3.2 Comment nomme-t-on les oscillations effectuées par ce pendule ? 3.3 Quelles solutions peut-on envisager pour que ces oscillations redeviennent périodiques ?
Exercice 13
Oscillations
Pour déterminer expérimentalement la valeur de l'intensité de la pesanteur en un lieu donné on a mesuré, pour des longueurs l différentes, la durée t, de 20 oscillations d'un pendule simple et on a obtenu les résultats suivants : l (m) 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 t(s) 25,36 31,04 35,84 40,04 43,92 47,44 50,72 1. Déterminer la période T₀ des oscillations pour chaque valeur de la longueur de ce pendule simple non amorti. 2. Tracer le graphe T² = f(l) et vérifier la validité de la période propre théorique d'un pendule simple. Echelle : 2cm pour 0,4m et 1cm pour 1s² 3. En déduire la valeur du champ de pesanteur du lieu de l'expérience.
Exercice 14
Oscillations
Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m attaché à un fil de masse négligeable, de longueur l. L'autre extrémité du fil est accrochée à un point O fixe. L'ensemble peut se déplacer sans frottement sur un plan sur un plan incliné faisant un angle α avec le plan horizontal. Le champ de pesanteur est g. 1. En repérant la composante du poids inclus dans le plan incliné (et donc orthogonal à l'axe de rotation), calculer son moment par rapport à l'axe de rotation. 2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation, trouver l'équation différentielle du mouvement et la période des petites oscillations. 3. On lance le pendule depuis le point O' avec une vitesse V. Déterminer l'expression de l'angle maximal atteint par le fil, en supposant qu'il reste dans le plan incliné.
Exercice 15
Oscillations
Une sphère conductrice S assimilable à un point matériel, de masse m=2g est suspendue à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil isolant, inextensible, de masse négligeable et de longueur l =10cm. g=10m.s⁻² . 1. Calculer la période T₀ des petites oscillations de ce pendule simple. 2. Le pendule est placé entre les armatures métalliques A et B, planes et horizontales, de grandes dimensions, distantes de d=20cm. Le point de suspension, O, est à 5cm de l'armature supérieure, A. On applique entre les deux armatures une différence de potentiel constante UAB = 2000V créant ainsi entre A et B un champ électrique vertical dirigé de haut en bas et d'intensité E. la sphère porte une charge q = 2.10⁻⁶ C. 2.1. Quelle est la nouvelle période des petites oscillations de ce pendule T? 2.2. Le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle de 90° avec une pince isolante et abandonné sans vitesse initiale. Quelle est la tension du fil au passage à la verticale ? 2.3. Au passage à la verticale, le fil casse. Quelles sont alors la nature et l'équation de la trajectoire de S ?
Exercice 16
Oscillations
Un disque homogène (D) de masse M=1,0Kg et de rayon R=10cm est suspendu en son centre de gravité G, à un fil de torsion de constante C. (fig.1) On fait tourner le disque d'un angle θm dans le plan horizontal provoquant une torsion du fil du même angle puis on l'abandonne sans vitesse initiale. Le disque effectue alors un mouvement oscillatoire se rotation autour de l'axe (Δ) matérialisé par le fil. Un dispositif approprié a permis de représenter les variations de l'angle de torsion θ en fonction du temps. 1. Calculer le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe de rotation (Δ) . 2. Faire le bilan des forces extérieures qui s'appliquent sur le disque à une date quelconque de son mouvement. 3. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique du solide en rotation au disque, déterminer l'équation différentielle du mouvement de ce dernier. 4. Montrer que la période propre des oscillations a pour expression : T= 2π√(JΔ/C) 5. Déterminer à partir du graphe de la fig.2, la valeur numérique de T₀, puis en déduire la constante de torsion C du fil. 6. Déterminer la loi horaire du mouvement de ce pendule.
Exercice 17
Oscillations
On considère un fil métallique vertical dont une extrémité est fixée à un support et dont l'autre extrémité supporte, en son milieu, une tige homogène AB de masse M=50Kg, de longueur L=15cm. La constante de torsion du fil est C=5.10⁻⁴ N.m/rad. On fixe, à chaque extrémité de la tige, une petite sphère ponctuelle de masse m=10g. L'ensemble peut osciller horizontalement, sans frottement, autour du fil de torsion. 1. Calculer le moment d'inertie JΔ du système tige-sphères par rapport à l'axe de rotation (Δ) matérialisé par le fil. 2. On écarte, dans le plan horizontal, le système de sa position d'équilibre. Démontrer que le mouvement est sinusoïdal et calculer la période T₀ des oscillations. 3. On place le système entre les armatures verticales P₁ et P₂ d'un condensateur plan séparées d'une distance d=0,20m. la différence de potentiel entre les armatures est UP₁P₂=-10KV. La tige isolante, est perpendiculaire aux plaques, à l'équilibre ; la torsion du fil est donc nulle. On charge l'une des sphères par une quantité d'électricité +q et l'autre par une quantité -q (q positif) 3.1. Représenter le vecteur champ électrique entre les armatures du condensateur puis déterminer son intensité E. 3.2. On écarte le système de sa position d'équilibre et on l'abandonne sans vitesse. Il se met à osciller avec une période T différente de T₀. 3.2.1. Reproduire le schéma du dispositif ( vue de dessus) ci-contre et le compléter en indiquant le signe de la charge de chaque sphère, après représenté les forces électriques appliquées sur chacune d'elle. 3.2.2. Etablir l'équation différentielle du mouvement pour des oscillations de faible amplitude et en déduire la période T en fonction de q, E, L,C et JΔ . 3.2.3. On mesure la période T et on trouve T=3,16s. Déduire de cette expérience la valeur de q.
Exercice 18
Oscillations
On se propose de déterminer le moment d'inertie J₀ d'une tige homogène AB, par rapport à un axe passant par son centre d'inertie O. A cet effet, on la suspend par son centre d'inertie G à l'extrémité inférieure d'un fil de torsion vertical, de constante de torsion C. L'extrémité supérieure est fixé en un point d'un support horizontal. On place deux solides ponctuels S et S', de même masse m=10g, sur la tige, de part et d'autre de O, à la distance OS=OS’= x. Au cours de l'expérience, la tige demeure horizontale. On écarte le pendule de torsion de sa position d'équilibre d'un angle θ₀, on l'abandonne sans vitesse initiale, puis on note la durée Δt de 10 oscillations pour différentes valeurs de x. Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau suivant : x (cm) 5 10 15 20 25 x² (cm²) Δt (s) 102,1 107,7 116,5 127,8 141,0 T₀² (s²) 4π² 1. Citer deux appareils de mesure utilisés lors de cette expérience. 2. Pourquoi mesure-t-on la durée de 10 oscillations plutôt qu'une seule ? 3. Reproduire et compléter le tableau en prenant π² = 10. 4. On pose y = T₀²/(4π²) ; tracer la courbe y = f(x²). Echelle : 1cm pour 50cm² et 1cm pour 0,40s². 5. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique de rotation, établir l'expression littérale de la période T₀ des oscillations en fonction de x, J₀, C et m. 6. Déterminer, à partir d'une exploitation graphique, les valeurs de J₀ et de C, en unités du système international.
Exercice 19
Oscillations
Un disque plat homogène, d'épaisseur négligeable, de rayon R=15cm est suspendu par son centre O à un fil de torsion, de constante de torsion C. C est inversement proportionnelle à la longueur l du fil. L'autre extrémité du fil est fixée en un point A. On écarte le disque de sa position d'équilibre d'un angle π/3 rad, le fil étant maintenu vertical, et on l'abandonne sans vitesse initiale à l'instant t=0s. On constate alors que 20 oscillations de période T₀ ont une durée t=40,0s. 1. Déterminer la nature du mouvement du disque et écrire l'équation horaire de ce mouvement. 2. Calculer la constante de torsion C du fil sachant que le moment d'inertie du disque est J = 2,25.10⁻³ kg.m² . 3. Le disque est maintenu à présent à la distance AO=x sur le fil dont les extrémités A et A' sont fixées (voir fig). Déterminer en fonction de T, l et x la période T des oscillations du disque. 4. Pour quelle valeur de x, la période T est-elle maximale ? Quelle est alors la valeur de cette période ?
Exercice 2
Oscillations
Choisir la bonne réponse 1. La durée d'une oscillation est l'intervalle de temps qui sépare : a)Deux passages du mobile par la même position. b) Deux passages successifs du mobile par la même position. c) Deux passages successifs du mobile par la même position en allant dans le même sens. 2. Un oscillateur libre non amorti est caractérisé par : a) Son poids négligeable b)La constance de l'amplitude de ses mouvements c)La variation de son énergie mécanique d)Son caractère dissipatif. 3. L'oscillateur libre amorti a une énergie mécanique décroissante. Il est donc : a)Conservatif b) Dégressif c)Evolutif d) Dissipatif 4. La période propre des oscillations d'un pendule simple de longueur l dans le champ de pesanteur g s'écrit: α) To = 2π√(g/l) b) To = (1/2π)√(l/g) c) To = 2π√(l/g) d) To = 2π√(g/l) 5. La période propre des oscillations d'un pendule élastique de masse m et de raideur k s'écrit : a) T = 2π√(m/k) b) To = 2π√(mg/k) c) To = 2π√(k/m) d) To = 2π√(k/mg) 6. La période propre des oscillations d'un pendule de torsion de moment d'inertie JΔ et de constante de torsion C s'écrit: a) To = 2π√(JΔ/C) b) To = 2π√(mC/JΔ) c) To = 2π√(C/JΔ) d) To = 2π√(JΔ/mC) 7. La période d'un pendule simple de longueur 1 m a pour valeur 2 secondes. Celle d'un pendule simple de longueur 25 cm a pour valeur : a)1s; b) ; 0,5s; c): 4s; d) : 8s 8. Une masse de valeur inconnue est suspendue à un fil de longueur 1m en un lieu où g = 10ms¯², puis à un ressort de raideur K = 4Nm¯¹. Les deux oscillateurs ainsi obtenus ont la même période. La valeur de la masse est : a) 0,40 kg; b) 0,25kg ; c) quelconque 9. Un balancier ayant la forme d'une roue de moment d'inertie JΔ est entraîné par un ressort spiral qui se comporte comme un fil de torsion de constante C = 4x10⁻⁴ N.m.rad⁻¹. Calculer JΔ pour que le balancier ''batte la seconde''. a) 10⁻⁴ kgm²; b) 4x10⁻⁶ kgm² c) 10⁻⁵ kgm² 10. Un pendule de longueur 0,1 m est constitué d'une bille d'acier de masse 0,3 kg suspendu à un fil. Il est placé dans le vide. Combien vaut la pulsation des oscillations libres pour ce pendule ? (g=10 S.I) a) 0,62 rad/s b) 1 rad/s c) 1,59 rad/s d) 10 rad/s 11. On donne la figure ci-après constituée de deux ressorts de raideurs K₁ et K₂ et d'un solide A de masse m. Déterminer la période des oscillations de la masse m glissant sans frottement sur le plan horizontal. α) T = 2π√(m(K₁+K₂)/K₁K₂) b) T = 2π√(m/(K₁+K₂)) c) n'existe pas 12. La période d'un pendule simple de longueur 50 cm, en un lieu où l'accélération de la pesanteur vaut 9,8 ms¯² est de: a) 2,1s; b)1,4s; c)1,9s. 13. Lorsqu'il y a amortissement, la pseudo-période des oscillations peut être : a) supérieure ; b) inférieure ; c) égale à la période propre de l'oscillateur. 14. La période propre d'un pendule élastique dépend : a) De l'amplitude des oscillations ? b) De la constante de raideur du ressort ? c) De la vitesse initiale ? d) De la masse en oscillation? 15. Un pendule élastique horizontal caractérisé par la constante de raideur k = 25 N.m⁻¹ et la masse m = 300g, a une vitesse maximale de 0,80 ms⁻¹. L'amplitude du mouvement est : a) xm = 3,4 cm ; b) xm = 7,5 cm; c) xm = 8,8 cm 16. deux ressorts de même constante de raideur K, sont reliés comme indiqué sur la figure ci-contre à la même masse M. le rapport de la période des ressorts montés en parallèle (figure1) sur ceux montés en série (figure 2) est : :a) 1/2 b) 1/√2 c) 1 d) √2 e) 2 17. On considère 7 pièces de 100 Francs places en hexagone comme indiqué ci-contre. Chaque pièce de monnaie est un disque de masse m et de rayon r. Quel est le moment d'inertie du système de 7 pièces par rapport à un axe passant au milieu de la pièce centrale perpendiculaire à la pièce ? a) (7/2) mr² b) (13/2)mr² c) (29/2)mr² d) (49/2)mr² e) (55/2)mr² f) aucune réponse n'est bonne.
Exercice 20
Oscillations
On fixe sur une barre AB deux fils métalliques identiques f₁ et f₂. Les deux fils sont fixés respectivement aux points O₁ et O₂. Le moment d'inertie de la barre par rapport à son axe est JΔ. On écarte la barre de la position d'équilibre de 90° et on l'abandonne sans vitesse initiale. La constante de torsion d'un fil est C. C= 8.10⁻² N.m rad⁻¹ . 1.1 Donner, à une date t quelconque, l'expression de l'allongement de chaque ressort en fonction de l'abscisse x de G. 1.2 Etablir l'équation différentielle du mouvement de G. 1.3 Exprimer et calculer la période propre du mouvement de G. 1.4 Ecrire l'équation horaire de G. 2. En réalité, il existe des frottements. On admettra qu'ils peuvent être représentés par une force f = -αV où α est une constante positive et V le vecteur-vitesse de G. 2.1 Etablir l'équation différentielle du mouvement de G. 2.2 Donner en conservant les mêmes conditions initiales, l'allure de la courbe représentant l'amplitude de G en fonction du temps s'il s'agit d'un amortissement assez faible.
Exercice 21
Oscillations
On dispose d'un système {solide-ressort} constitué d'un mobile de masse m considéré comme un point matériel G accroché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur k =15N.m⁻¹. A) Le système est installé sur une table à coussin d'air afin de négliger les frottements entre le mobile et la table. Ce mobile, assimilé à son centre d'inertie G, peut osciller horizontalement sans frottement sur une tige parallèle à l'axe Ox (figure 1). On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le point O coïncide avec la position de G lorsque le ressort est au repos. 1. Equation différentielle associée au système{solide-ressort} et solution. 1.1. Faire l'inventaire des forces exercées sur le mobile. Recopier sur votre copie la figure en faisant apparaitre ces différentes forces. 1.2. Rappeler l'expression vectorielle de la tension du ressort en fonction de k, x et i. 1.3. En appliquant le théorème du centre d'inertie au mobile, établir l'équation différentielle du mouvement. 1.4. Vérifier que x = Xm cos(ωt + φ) est solution de cette équation différentielle. 1.5. Le mobile est écarté de sa position d'équilibre et lâché à l'instant t=0s, sans vitesse initiale, de la position x = 10cm. Déterminer numériquement Xm et φ. En déduire la loi horaire du mobile. 2. Energie mécanique du système solide-ressort. 2.1. Donner l'expression de l'énergie mécanique Em de la masse m du mobile en mouvement sur l'axe horizontal (Ox) en fonction de m, x, k et xm . 2.2. Le professeur réalise un enregistrement du mouvement du centre de gravité de la masse m à l'aide d'un dispositif d'acquisition des données. A partir de la position d'équilibre de la masse, il étire le ressort vert la droit et lâche la masse à t=0s sans lui communiquer de vitesse initiale. Le professeur obtient donc la courbe représentant les variations de l'abscisse x de G en fonction du temps, soit x = f(t) (figure 2). 2.2.1. Comment peut-on qualifier ces oscillations ? Justifier votre réponse. 2.2.2. Déterminer la période propre T₀ et la pulsation propre de ces oscillations. 2.2.3. En déduire de la question précédente la valeur de la masse m du mobile. 2.2.4. Vérifier que l'énergie mécanique est constante et calculer sa valeur. B) On suppose maintenant que les frottements ne sont plus négligeables et peuvent être modélisés par une force dont la valeur est proportionnelle à celle de la vitesse et dont le sens est opposé à celui du mouvement : f = -αV (α > 0 ). Le dispositif d'acquisition des données a permis de connaitre à chaque instant la position du mobile (figure3). Un logiciel de traitement fournit les courbes de variation, en fonction du temps,, de l'énergie mécanique (Em), de l'énergie cinétique (Ec) et de l'énergie potentielle élastique (Ep) du système solide-ressort (figure 4). 1. Que représente la grandeur α ? Donner sa dimension et son unité dans le SI. 2. Etablir l'équation différentielle du mouvement de l'ensemble masse-ressort. 3. Montrer en utilisant la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps que la variation de l'énergie mécanique correspond au travail des forces de frottements. 4. Comment qualifie-t-on ce pendule élastique, ainsi que les oscillations correspondantes? Déterminer la période T. 5. Identifier par la lettre A ou B les courbes Ec(t) et Ep(t) de la figure 4 en justifiant les réponses. 6. Pourquoi l'énergie mécanique du système diminue-t-elle au cours du temps ?
Exercice 22
Oscillations
On considère les systèmes ci-dessus. Dans chaque cas, on écarte le système de sa position d'équilibre puis on l'abandonne à lui-même. La position du système est repérée à chaque instant par l'abscisse x. Etablir l'équation différentielle du mouvement et déduire qu'en a) on a : Kéq = K₁ + K₂ et qu'en b) on a : Kéq = (K₁K₂)/(K₁+K₂)
Exercice 23
Oscillations
Sur un plan incliné d'un angle α par rapport à l'horizontal, on dispose un ressort (R) de masse négligeable, de constante de raideur K et de longueur à vide l₀, fixé par l'une des extrémités à un butée fixe. A l'autre extrémité, on accroche un solide (S) de centre d'inertie G pouvant glisser sans frottement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné. On donne : m = 500g, g = 10 N.kg⁻¹, α = 30°, K = 20 N.m⁻¹ 1. O est la position de G lorsque le solide (S) est en équilibre. Déterminer en fonction de K, m, g et α l'allongement Δl₀ du ressort lorsque (S) est au repos. 2. Calculer Δl₀. 3. On écarte (S) de sa position d'équilibre de Xm = 6cm, puis on le libère avec une vitesse initiale nulle. Sachant que l'axe du ressort reste parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné, 3.1. Etablir l'équation différentielle du mouvement de (S). 3.2. En déduire la période des oscillations du système. 3.3. Ecrire dans le repère (O,x) l'équation horaire du mouvement du centre d'inertie G de (S).
Exercice 24
Oscillations
Un solide S de masse m = 100g accroché à un ressort R de longueur à vide l₀ = 12cm est astreint à se déplacer en translation sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale (voir figure). La longueur du ressort correspondant à la position d'équilibre du ressort est l₂ = 11,5cm. 1. Représenter les forces appliquées en G₀ en négligeant les frottements. Calculer α. AN : k=50N/m 2. On déplace légèrement le solide S de G₀ à Gm de façon que G₀Gm = xm avec xm = 4,5cm et l'on abandonne sans vitesse à l'instant initiale t =0. 2.1. A l'instant t, le centre d'inertie du solide est G tel que G₀G = x u. Quelle est alors la tension T du ressort ? 2.2. Les forces de frottements sont proportionnelles à la vitesse du solide f = -λV . Représenter les forces appliquées en G à l'instant t. a- Etablir l'équation différentielle du mouvement du solide S sur le plan incliné. b- Déterminer à l'instant t l'énergie mécanique du système (Ep = 0J au plan horizontale passant par G₀). c- Montrer que les frottements sont les seuls responsables de la perte d'énergie à partir de sa variation. 2.3. En considérant que les frottements sont négligeables (λ = 0), quelle est l'équation horaire du mouvement?
Exercice 25
Oscillations
Un palet de masse m = 700g, mobile sur une table horizontale à coussin d'air, est accroché à deux ressorts identiques R₁ et R₂ ; de masses négligeables, tendus entre deux points fixes A₁ et A₂ (voir figure ci-dessous) Les ressorts de constante de raideur k₁ = k₂ = 0,2N.m⁻¹ et de longueur à vide l₀₁ = l₀₂ = 18cm, ont pour longueur à l'équilibre du palet l₁ = l₂ = 25cm. 1. En l'absence des frottements, on écarte le palet de sa position d'équilibre O de telle sorte que son centre de gravité G se déplace vers A₁ de OG = -2cm, puis on l'abandonne sans vitesse initiale à l'instant t = 0.
Exercice 26
Oscillations
Deux ressorts identiques, de longueur à vide l₀ = 15cm, de constante de raideur k=20N.m⁻¹ sont tendus entre deux points A et B distants de L=45cm. Un solide de masse m=0,1kg, est fixé entre ces deux ressorts. (voir figure ci-contre) 1. Déterminer les longueurs des deux ressorts à l'équilibre. 2. Le solide est écarté verticalement de sa position d'équilibre vers le bas d'une distance a = 3cm et abandonné à lui-même. On prendra g = 10m.s⁻² 2.1. Par une étude dynamique, établir l'équation différentielle du mouvement. On choisira l'axe x’Ox de sorte qu'il soit orienté vers le haut et que son origine O coïncide avec la position d'équilibre du disque. 2.2. En déduire l'équation horaire du mouvement. 2.3. Retrouver l'équation différentielle par une étude énergétique. L'origine des énergies potentielles de pesanteur sera prise à la position d'équilibre à l'équilibre.
Exercice 27
Oscillations
Pour l'étude expérimentale des oscillations d'un pendule élastique vertical, on réalise le dispositif de la figure ci-contre qui comporte : un ressort (R) de constante de raideur k et de masse négligeable, disposé verticalement tel que son extrémité supérieure soit attachée au fil (f) permettant de le mettre en liaison avec un disque tournant à vitesse constante. un récipient transparent contenant un liquide visqueux. un solide (S) de masse m est accroché à l'extrémité libre du ressort. Au cours de son mouvement, il baigne totalement dans le liquide et est soumis à des frottements de type visqueux. une réglette sur laquelle on peut repérer la position de l'index. 1. La position du centre de gravité G de la masse est définie par son abscisse x par rapport au repère (O,i) d'axe (x'x). L'origine O correspond à la position d'équilibre de G lorsque (S) est au repos. 2. Donner l'expression de la fréquence propre f₀ de l'oscillateur formé par (S) et (R). 3. Etablir une relation entre m, k, l'allongement Δl₀ du ressort lorsque (S) est au repos et l'intensité de la pesanteur g. 4. En déduire l'expression de f₀ en fonction de Δl₀ et g. 5. On mesure pour différentes valeurs de la fréquence f de rotation de l'excentrique entraîné par le moteur, l'amplitude Xm des oscillations du solide suspendu au ressort. Ce qui permet d'obtenir le tableau de mesures suivant : f(Hz) 0 8 14 16 18 20 22 24 28 30 34 36 40 50 Xm(cm) 6,6 9,0 13,8 16,2 19,2 21,6 22,8 24 22,8 21 15 12,6 8,4 2,4 5.1. Identifier dans le dispositif ci-dessus, l'excitateur et le résonateur. 5.2. Les oscillations sont-elles libres ou forcées ? Justifier la réponse. 5.3. Représenter la courbe Xm = g(f) de l'oscillateur. Echelle : 1cm pour 4cm et 1cm pour 5Hz. 5.4. Comment appelle-t-on cette courbe ? 5.5. Déterminer graphiquement la fréquence de résonance fr ; puis déduire la fréquence propre f₀ du résonateur. 5.6. Déterminer la raideur k du ressort et son allongement Δl₀ à l'équilibre. On donne : m = 120g ; g = 9,8 m.s⁻².
Exercice 28
Oscillations
Un pendule pesant constitué d'une tige rectiligne homogène (t) de masse m=0,2kg de longueur l = 20cm . Ce pendule peut osciller sans frottement dans un plan vertical autour d'un axe fixe (Δ) horizontal passant par le point O de son extrémité supérieure. On fixe à son extrémité inférieure, l'une des extrémités d'un ressort horizontal de masse négligeable et de constante de raideur k=50N.m⁻¹. Initialement, la tige est immobile et verticale, et le ressort ni étiré, ni comprimé (figure 1). On écarte la tige (t) de sa position d'équilibre d'un angle θm et on l'abandonne sans vitesse initiale. Soient θ l'élongation angulaire du mouvement de la tige mesurée à partir de sa position d'équilibre, x l'allongement du ressort au cours du mouvement et JΔ le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe (Δ) (figure 2). 1. Quel est la relation x, θ et l. 2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation à la tige (t) et montrer que l'équation différentielle qui régit son mouvement dans le cas des oscillations de faible amplitude s'écrit : (JΔ/l) d²θ/dt² + (3gl/2)θ + 2kθ = 0 3. Retrouver cette équation différentielle à partir de la conservation de l'énergie mécanique. On prendra comme niveau de référence de l'énergie potentielle de pesanteur, le plan horizontal passant par la position d'équilibre du centre d'inertie G de la tige. 4. Exprimer et calculer est la longueur L d'un pendule simple synchrone à ce pendule pesant? prendre g = 9,8 m.s⁻².
Exercice 29
Oscillations
On considère deux poulies P₁ et P₂ accolées, homogènes de masse négligeables et de rayons respectifs R₁ et R₂. Elles tournent sans frottement autour d'un même axe (Δ). On enroule autour de P₁ un fil inextensible de masse négligeable et on suspend à l'une de ces extrémités un corps (S) de masse M. Sur l'autre poulie P₂ on enroule un autre fil inextensible, de masse négligeable, et on attache son extrémité à un ressort à spires non jointives de raideur k et de longueur à vide l₀. Données : g =10 N/kg, M=0,2 kg, R₁ =5 cm, R₂ =10 cm, k =20 N/m. 1. Etablir l'expression de l'allongement Δl₀ du ressort à l'équilibre en fonction de m, R₁, R₂, k et g. 2. On déplace le corps (S) de sa position d'équilibre vers le bas d'une distance x et on le lâche. On considère la position à l'équilibre comme origine des déplacements. 2.1. En appliquant les relations de la dynamique appropriées au corps (S), aux poulies et au ressort, montrer que l'équation différentielle qui régit le mouvement du corps (S) s'écrit : M d²x/dt² + (kR₁²/R₂²)x = 0. 2.2. Retrouver cette équation différentielle à partir de la conservation de l'énergie mécanique. Le niveau de référence des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par la position d'équilibre du corps (S). 2.3. Déduire la nature du mouvement se (S) puis donner l'expression de la période propre T₀ des oscillations du pendule. 2.4. A la date t=0, (S) passe par le point d'abscisse x₀ = 2cm avec une vitesse de valeur algébrique V₀ = -0,2m/s. Déterminer la loi horaire x(t) de (S).
Exercice 3
Oscillations
1. Calculer les moments d'inertie des systèmes suivants : 1.1.Une sphère de masse m = 200g et de rayon R = 10cm. Moment d'inertie par rapport à un axe (Δ) passant par son centre G. 1.2.Une pièce de monnaie de masse m = 40g et de diamètre D=3cm. Axe (Δ) perpendiculaire à l'une de ses faces et passant par son centre G. 1.3.Un Cerceau de rayon r = 10cm, de masse m = 200g par rapport à un axe (Δ) passant par son centre. 1.4. Tige de masse m = 200g, de longueur l = 80cm. Axe (Δ) passant par l'une de ses extrémités. 1.5. Un triangle équilatéral constitué de trois tiges identiques de masse m=1kg et de longueur l=1m sont soudées par leurs extrémités par rapport à un axe passant par un de ses sommets et perpendiculaire au plan du triangle. 2. Un pendule effectue 120 oscillations par minute. Quelles sont : sa période, sa fréquence et sa pulsation.
Exercice 30
Oscillations
Un corps A de masse m_a glisse le long de la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'angle α=30° par rapport à l'horizontale. Le fil attaché au corps A reste parallèle à la ligne de plus grande pente. On détache le corps B qui tendait le fil, puis on enroule le fil sur une petite poulie à deux gorges, de moment d'inertie JΔ = 6,8x10⁻⁴ kg.m² et de rayons R=15cm et r=8cm. L'extrémité de ce fil, issu de la gorge de la petite poulie, est ensuite attachée à un ressort à spires non jointives de masse négligeable ; ce ressort est fixé au sol et reste vertical (voir figure). Sa constante de raideur est K et il s'allonge de 1cm sous l'effet d'une force de 1N. 1. Déterminer l'expression de l'allongement Δl₀ du ressort à l'équilibre en fonction de m_a, R, r, α, K, et g . Calculer Δl₀. 2. Le corps A, déplacé à partir de sa position d'équilibre de 2cm vers le bas le long du plan incliné, est abandonné sans vitesse initiale. 2.1. Etablir l'équation différentielle du mouvement du corps A par une étude : a) Dynamique ; b) Energétique. 2.2. En déduire que le corps A est un oscillateur harmonique et écrire l'équation horaire du mouvement.
Exercice 4
Oscillations
Le graphe du document 1 de l'annexe à remettre avec la copie représente les variations de l'angle que fait le fil d'un pendule simple avec la verticale de son point de suspension en fonction du temps. 1. A partir du graphe, donner en justifiant, deux qualificatifs à cet oscillateur. 2. Lire sur le graphe, les valeurs de la période et de l'amplitude des oscillations de ce pendule. 3. Quelle est l'élongation à la date t=0 du pendule ?En déduire une expression de l'élongation du pendule en fonction du temps. 4. Ecrire l'expression de la période propre d'un pendule simple en fonction de sa longueur et de l'intensité de la pesanteur du lieu où la mesure est faite. En déduire la longueur du fil l du pendule sachant que l'intensité de la pesanteur en ce lieu est g=9,8m/s². 5. On veut que le pendule précédent batte la seconde. Déterminer la nouvelle longueur du fil l'.
Exercice 5
Oscillations
Le document ci-contre représente l'enregistrement des oscillations d'un pendule élastique horizontal de masse m=206g et de raideur k. Echelle : sensibilité verticale : 1cm/div ; balayage : 0,5s/div. 1. Déterminer : a) L'amplitude des oscillations ; b) La période propre et la fréquence propre de l'oscillateur ; c) La valeur de la raideur k du ressort ; d) L'énergie mécanique ; e) La valeur maximale de la vitesse. 2. Pour une élongation x = 1,5cm,calculer la valeur de la vitesse. 3. Etablir l'équation horaire du mouvement. 4. Représenter, sur un même graphique, les variations en fonction de l'élongation x : a) De l'énergie potentielle ; b) De l'énergie mécanique ; c) De l'énergie cinétique. 5. Représenter, sur un même graphique, les variations en fonction du temps : a) De De l'énergie potentielle ; b) De l'énergie mécanique ; c) De l'énergie cinétique.
Exercice 6
Oscillations
On considère une sphère de masse m et de rayon r, suspendue au point A à un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l = 5r . L'autre extrémité du fil est reliée à un point O fixe. On écarte le système ainsi formé, d'un angle θ₀ =10° par rapport à la verticale à l'instant t₀ = 0s et on l'abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Ce système effectue alors un mouvement oscillatoire. A t quelconque, il est repéré pas l'abscisse angulaire θ par rapport à la verticale. 1. Quel nom donne-t-on à un tel système ? déterminer en fonction de r et m l'expression de son moment d'inertie JΔ par rapport à l'axe (Δ) perpendiculaire au plan de la figure, passant par O. 2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique des solides en rotation et déterminer l'équation différentielle du mouvement du système. 3. En déduire l'expression de la période T en fonction de JΔ, r et m. on supposera l'angle θ faible. 4. Un dispositif approprié a permis d'enregistrer les variations de θ en fonction du temps (voir figure ci-contre). Déduire la valeur de JΔ, on donne : r= 20cm et m= 150g. 5. Déterminer la loi horaire du mouvement θ = f(t). 6. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre l'instant initial et un instant quelconque, déterminer l'expression de la vitesse angulaire ω du système à l' instant quelconque en fonction de θ, θ₀ et r. En déduire l'expression de l'accélération normale an .
Exercice 7
Oscillations
Une tige (t) homogène et de section constante OA de masse M et de 2R est suspendue à son extrémité O solidaire à un axe (Δ) horizontal autour duquel il peut se mouvoir librement dans le plan vertical (figure 1) son centre de gravité sera G. on néglige les frottements. 1. Exprimer OG en fonction de R. 2. Exprimer en fonction de R et M, le moment d'inertie JΔ de la tige par rapport à l'axe (Δ). 3. On écarte la tige de sa position d'équilibre stable d'un angle θ₀, puis on l'abandonne sans vitesse initiale (figure 2). 3.1. Expliquer pourquoi ce système est un oscillateur. 3.2. Déterminer dans le cas général l'équation différentielle du mouvement de la tige en fonction de R, g, θ et θ. 3.3. Cet oscillateur est-il harmonique ? justifier votre réponse.
Exercice 8
Oscillations
Soit un disque homogène de masse M=200g, de rayon R=10cm et centre O. Une tige homogène AB de longueur l = 60cm et de masse m’=50g est soudée dans le prolongement d'un rayon OA du disque. L'ensemble disposé verticalement est mobile autour d'un axe horizontal passant par B. 1. Calculer moment d'inertie du pendule pesant ainsi constitué par rapport à l'axe horizontal (Δ) passant par B. Quelle est la position de son centre d'inertie G? 2. On écarte alors le pendule de sa position d'équilibre d'un angle θ₀ et on l'abandonne sans vitesse initiale. 2.1. Etablir l'équation différentielle des oscillations de faible amplitude de ce pendule et en déduire la nature de son mouvement. 2.2. Donner les expressions de la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre. AN : g=10m.s⁻². 2.3. Déterminer la loi horaire du mouvement de ce pendule. On donne θ₀ = 8° . 3. Montrer que le système {Disque-Tige-Terre}est conservatif. On prendra le niveau de référence de énergie potentielle le plan horizontal passant par la position d'équilibre du centre d'inertie G.
Exercice 9
Oscillations
Un cerceau homogène en bois est suspendu en O à un (Δ) horizontal, perpendiculaire au plan du cerceau. La masse du cerceau est m, son rayon est r et son moment d'inertie est JΔ. On donne : r = 20 cm; m = 0,1kg; g= 10 m.s⁻². On repère la position du cerceau par l'angle θ entre OG et la verticale (G centre d'inertie du cerceau). 1-On écarte le cerceau d'un angle θ = 10° et on le lâche sans vitesse à l'instant initial (t = 0) 1-1-Donner la nature du mouvement et en déduire la période propre T₀ des petites oscillations. 1-2-Quelle est la vitesse angulaire du cerceau lorsqu'il passe par sa position d'équilibre? 2-On accroche une bille ponctuelle en acier de même masse m que le cerceau en un point A diamétralement opposé à O (voir figure). 2-1- Quel est le nouveau moment d'inertie J'Δ et la nouvelle distance OG' du nouveau centre d'inertie G'? 2-2- Donner l'équation différentielle du mouvement de l'ensemble et en déduire la nouvelle période T'₀. 2-3- On écarte l'ensemble d'un angle de 60° et on le lâche. Déterminer la vitesse angulaire du système lors de son passage à sa position d'équilibre, en déduire la vitesse linéaire de la bille qui est au point A. 3-Un électro-aimant exerce sur la bille une force F vertical vers le bas et constante. On écarte l'ensemble d'un angle de 10° et on le lâche sans vitesse initiale. Déterminer la nature du mouvement et calculer la période T'' : On donne F = 15 N.
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