Mathématique · Lycée de Mballa 2 · Séquence n° 4 · Terminale d …2021
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Evaluation des compétences
Nombres complexes
Dans un chantier, une grue est utilisée pour déplacer les charges. On se place dans un plan vertical parallèle au plan de travail de la grue et on munit ce plan d'un repère orthonormé dont l'unité vaut 10 mètres en dimensions réelles. Pour installer cette grue, un « pied » métallique appelé mât a été solidement implanté verticalement dans le sol, suivant l'ensemble des points d'affixes z tels que : z + z̅ = 4. En hauteur, près du sommet du mât, se trouve la cabine d'où un individu dirige le bras de la grue pour déplacer des charges. Ce bras, encore appelé flèche, tourne autour de la cabine. Il peut être déplacé horizontalement ou, grâce à un ensemble de câbles, peut être relevé verticalement sans excéder un angle de 30° par rapport à l'horizontal. Pour monter jusqu'à la cabine, on se sert d'un ascenseur dont la vitesse de déplacement est 25 mètres par minute. La cabine est repérée par un point d'affixe z₁ = 2 + 7i. La flèche ou bras de cette grue va du point C au point G(19/2 + 7i). Deux charges A et B se trouvent en des points d'affixes respectives z₂ = 7 + 11i et z₃ = 8 + 9i. 1. Si un ouvrier empruntant l'ascenseur met 130 secondes pour monter à la cabine, déterminer l'affixe du point d'où il est parti. 2. Pourra-t-on prendre la charge A au moyen de cette grue ? Justifier votre réponse. 3. Examiner si la charge B peut être récupérée grâce à cette grue. Présentation : 0.5 pt
Exercice 1
Primitives et intégrales
1. Calculer les intégrales : I = ∫₁² x(7x² + 9)²dx, J = ∫₀^π e^t sin(5t)dt et K = ∫₋₃⁰ (x / racine carrée(-2x²+1)) dx. 2. A l'aide d'une double intégration par parties, calculer ∫₀^π e^t cos(3t)dt. 3. En se servant de la formule: sin(a + b) = sinacosb + cosasinb, déterminer ∫₀^(π/4) (sin(3x)+cos(3x)) / cos(3x+π/4) dx.
3 ptsExercice 2
Logarithme et exponentielle
1. Résoudre dans IR: i. e^(7-x²) > e^(1-5x); ii. ln(x² – 2) = ln(x). 2. a. Résoudre dans IR l'équation: 2x³-3x² - 3x + 2 = 0. b. En déduire la résolution dans IR de : i. ln(x²) + ln(x - 1) = ln(x² +3x-2) - ln(2); ii. e^(3x) - 3e^(2x) - e^(x) ≥ -e^(3x) + 2e^(x) - 2. 3. Résoudre dans IR² le système suivant : { e^(x-1) + 2 e^y = 8 { 3e^(x-1) + 5 e^y = 47/2
5 ptsExercice 3
Fonctions
On donne la fonction f définie sur IR par: f(x) = { (e^x + 1) / (x^2 + 1) si x ≤ 0; racine carrée(x²-5x+4) - 1 si x > 0. (C) désigne la courbe représentative de f dans un repère orthogonal d'unités graphiques: 1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées. 1. Justifier que f est définie sur D = ]-∞;1] U [4; +∞[. 2. a. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. b. Quelle est la nature du point A (0;1)? 3. a. Calculer les limites de f aux bornes de D. b. Montrer que (C) admet deux asymptotes que vous préciserez. 4. Déterminer les coordonnées des points de rencontre de (C) avec l'axe des abscisses. 5. a. Etudier le sens des variations de f. b. Etablir le tableau des variations de f, et en déduire le signe de f(x) sur D. c. Déterminer le nombre et le signe des solutions de l'équation : f(x) = m, suivant les valeurs du paramètre réel m. 6. Tracer (C). 7. Soit a un nombre réel négatif. En remarquant que, quel que soit le réel x inférieur à 0, on a : f(x) ≤ 1, montrer que l'aire A du domaine du plan délimité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = 1, vérifie : A ≤ 2(1-a)cm².
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