Mathématiques · Examen : BAC, SérieC/E · Pays : Togo · Année : 2017
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Exercices, méthodes & corrigés (3)
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Exercice 1
Transformations du plan
Le plan P est muni du repère orthonormé (O, I, J), a étant un nombre réel. Soit fa l'application de P dans P transformant I en A(a+1), J en B(2) et laissant invariant O. 1. a) Montrer que fa est une application affine. b) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles fa est bijective. On note la son application linéaire associée et on pose : i=0l, j = 0]. c) Déterminer la(ī) et la(J). En déduire l'expression analytique de fa dans le repère (O, I, J). 2. Déterminer a pour que l'on ait faofa = Idp où Idp est l'application identique du plan. 3. Déterminer l'ensemble des points invariants par fa. (On discutera suivant les valeurs de a). 4. Quelle est la nature géométrique de f₁ ? (a=1). Quels sont ses éléments caractéristiques ? 5. Étude de fo (α = 0) a) Déterminer l'ensemble (A) des points M' qui sont images par fo d'au moins un point M de P. b) Soit s la symétrie de centre O. Montrer que fo = pos où p est une projection dont on précisera les élements caractéristiques.
4 ptsExercice 2
Probabilités
Un sac contient 30 boules indiscernables au toucher dont α noires, β blanches et γ rouges. On suppose qu'il y a au moins deux boules de chaque couleur. On tire au hasard et simultanément deux boules du sac. Soit l'événement E « Obtenir deux boules de même couleur ». 1. Calculer en fonction de α, β et γ la probabilité P(α,β,γ) de l'événement E. 2. On se propose de déterminer α, β et γ afin que P(α, β, γ) soit minimale. Pour cela on munit l'espace affine & d'un repère orthonormé (O,ī, j, k) et on considère les points A(30 ; 0 ; 0); B(0; 30; 0) et C(0 ; 0 ; 30). Soit le point M(α, β, γ) de E. a) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : x + y + z − 30 = 0. b) En déduire que M appartient au plan (ABC). c) Démontrer que 870 P(α, β, γ) + 30 = OM2. d) Soit H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Déterminer les coordonnées du point H. e) En déduire les valeurs de α, β et γ qui rendent minimale P(α, β, γ), puis calculer la probabilité P(α, β, γ) correspondante. 3. Le sac contient désormais 10 boules noires, 10 boules blanches et 10 boules rouges. Soit n et k deux entiers naturels supérieur ou égal à 2. Un joueur mise n francs et tire simultanément deux boules du sac. S'il obtient deux boules de même couleur, il reçoit k fois sa mise et le jeu est terminé. S'il obtient deux boules de couleurs différentes, il remet les deux boules tirées dans le sac et tire à nouveau simultanément deux boules. S'il obtient deux boules de même couleur, il reçoit (k-1) fois sa mise, sinon il perd sa mise et le jeu est terminé. Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. a) Montrer que la probabilité pour que le joueur ait un gain algébrique égal à kn – n est 9/29. b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Calculer l'espérance mathématique E(X) en fonction de k et n.
4 ptsPROBLÈME
Fonctions
PROBLÈME (12 points) Partie A Soit f la fonction numérique d'une variable réelle définie par : f(x) = ln((1+x)/(1-x)) 1. Préciser l'ensemble de définition de f. 2. Étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation. 3. Construire la courbe (C) de f dans un repère orthonormé (O ; i, j). Partie B On considère l'application Tk du plan dans lui-même d'expression analytique : x' = kx-y+1 y' = -x-ky + 1 où k est un réel. 1. Tk est-elle une transformation du plan ? 2. En discutant suivant les valeurs de k, déterminer l'ensemble des points invariants par Tk. 3. Déterminer l'écriture complexe associée à Tk. 4. Caractériser Tk∘Tk suivant les valeurs de k. 5. a) Caractériser T0 puis déterminer l'équation de la courbe (Γ) image de (C) par T0. b) Tracer (Γ) dans le même repère que (C). Partie C Pour tout réel x ∈ [-π/2;0[ on pose : g(x) = f (cosx). 1. Montrer que g est une primitive sur [-π/2;0[ de x → csinxcos2x où C est un réel à déterminer. 2. ∀ a ∈ [-π/2;0[ ∀ n ∈ IN*, on pose : In(a) = ∫aπ/2 cos2nt/sint dt. Montrer que : 0 ≤ In(a) ≤ π/2cos2na(a + π/2). En déduire que : lim In(a) = 0. n→ +∞ 3. Pour tout entier naturel non nul n, on définit la fonction Fn sur [-π/2, a] par: Fn(t) = cost/1 + cos3t/3 + cos5t/5 + .... + cos2n-1t/2n-1 + c. a) Montrer que Fn est dérivable sur [-π/2, a] et que ∀ t∈ [-π/2, a], F'(t) = -1+cos2nt/sint Calculer Fn(-π/2). b) En intégrant la relation précédente entre –π/2 et a, montrer que Fn(a) = -g(a) – In(a), où c est le réel déterminé dans la question C. 1. En déduire limFn(a). n→ +∞ Partie D Dans cette partie x ∈ ]0; 1[ ; t ∈ ]0,x[ et n∈ N*. 1. Vérifier que : Σ2n-1k=0 xk = 1-x2n/1-x (1) et que Σ2n-1k=0 (-1)kxk = 1-(-1)2n-1x2n/1+x (2). 2. a) Démontrer que : 1/(1-t2) < 1/(1-x2) En déduire que : 0 < x2n+1/(2n+1) < ∫0x t2n/(1-t2) dt < x2n+1/((2n+1)(1-x2)) b) Utiliser les relations (1) et (2) pour montrer que : – ln(1−x) = x + x2/2 + x3/3 + .... + x2n/2n + ∫0x t2n/(1-t) dt et ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + .... + (-1)2n-1 x2n/2n + (-1)2n ∫0x t2n/(1+t) dt. c) En déduire que ln((1+x)/(1-x)) = x + x3/3 + x5/5 + .... + x2n-1/(2n-1) + ∫0x t2n/(1-t2) dt. 3. Des questions D.1 et 2, trouver deux fonctions U et V sans intégrale telles que : U(x) < f(x) < V(x).
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