Mathématique · Complexe Scolaire International la Gaieté · Terminale d TI · Février 2021
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Nombres complexes
1. Soit le nombre complexe a = 2√2(-1+i)e^(i2π/3). a) Mettre a sous forme trigonométrique et sous forme algébrique b) Montrer que a^24 est un réel positif que l'on écrira comme une puissance de 2 c) Déduire de la question 1.a) que: cos(π/12) = (√3+1)/(2√2) et sin(π/12) = (√3-1)/(2√2) d) Résoudre dans R l'équation : (√3 + 1)cosx + (√3-1)sinx + √2 = 0 2. Linéariser l'expression h(x) = sin² x cos 2x + cos² x sin 2x
4 ptsExercice 3
Nombres complexes
1. Déterminer sous forme algébrique les racines quatrièmes de l'unité 2. a) Vérifier que 2 + i est une racine quatrième de -7 + 24i b) Montrer qu'un nombre complexe z est une racine quatrième de -7 + 24i si et seulement si z/(2+i) est une racine quatrième de l'unité c) En déduire sous forme algébrique toutes les racines quatrièmes de -7 + 24i 3. a) Résoudre dans C l'équation z² - 2(-7 +24i)z - 527 - 336i = 0 b) En déduire la résolution dans C l'équation z^8 - 2(-7 + 24i)z^4 - 527 - 336i = 0 4. Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (O, u, v). Soit les points A, B, C et D d'affixes respectives zA = 2 + i; zB = -1 + 2i ; zC = −2 − i et zD = 1 - 2i. a) Placer A, B, C et D dans le plan complexe b) Calculer les distances AB et AD c) Déterminer (par calculs) une mesure de l'angle orienté (AB, AD) d) En déduire la nature exacte du triangle ABD e) Montrer que ABCD est un carré f) Déterminer l'affixe du point G, centre de gravité du triangle ABC
7.5 ptsExercice 4
Suites numériques
Deux récipients A et B sont séparés par une membrane perméable. On place dans A une solution contenant a0 molécules et dans B une solution contenant b0 molécules. On suppose que, toutes les heures, 20% de molécules passent de A dans B et 10% de molécules passent de B dans A. On note an et bn les nombres respectifs de molécules présentes dans A et B au bout de n heures. 1. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a: {a(n+1) = 0,8an + 0,1bn {b(n+1) = 0,2an + 0,9bn 2. On pose, pour tout n : un = an + bn et vn = 2an - bn a) Démontrer que (un) est constante et exprimer un en fonction de a0 et b0 b) Démontrer que (vn) est géométrique et exprimer vn en fonction de n, a0 et b0 3. Exprimer an et bn en fonction de n, a0 et b0 4. Etudier les limites des suites (an) et (bn), puis commenter les résultats.
3.5 ptsPartie B
Fonctions
Mme Bella est une agricultrice spécialisée dans la culture des pommes de terre. Les études ont révélé que, par an, lorsque Mme Bella utilise dans sa plantation x tonnes d'engrais naturel (x ∈ [1; +∞[), elle produit t(x) = x + 9/x tonnes de pommes de terre; et pour t tonnes de pommes de terre produites, elle réalise après-vente un gain algébrique g (en millions de FCFA) tel que g(t) = -3t + 30. Tâche 1: Quelle quantité minimale de pommes de terre (en tonnes) Mme Bella peut-elle produire par an? Tâche 2: Dans quel intervalle doit se situer la quantité x d'engrais naturel à utiliser pour que le business agricole de Mme Bella soit rentable annuellement? Tâche 3: Quelle quantité d'engrais naturel Mme Bella doit-elle utiliser pour réaliser le bénéfice annuel maximal ? Que vaut ce bénéfice ?
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