Mathématiques · Institut Polyvalent Bilingue les Pintades · Année Scolaire : 2021 2022 · Classe : Tle D/C/Ti
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Exercices, méthodes & corrigés (18)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Primitives et intégrales
Calculer les intégrales I indiquées à l'aide d'une primitive. I = Int(x - 3)dx de 0 a 4. I = Int(t^2 - 4t + 3)dt de -1 a 2. I = Int(t^2 / (t^2 + 1)) dt de 3 a 4. I = Int(1 / sqrt(2x-1))dx de 0 a 1. I = Int((2x + 1)(x^2 + x + 1))dx. I = Int(3x / (x^2 + 1)^2)dx de 0 a 1. I = Int((x - 2)(x^2 - 4x + 1))dx. I = Int(3 / sqrt(t + 1)) dt de 1 a 2. I = Int(4 / sqrt(5 - x)) dx de 1 a 2. I = Int(cos^3(t)) dt de 0 a pi/2. I = Int(sin^2(t)) dt de 0 a pi/2. I = Int(sin(x + 5/4)) dx de 0 a pi. I = Int(t * e^(t^2 - 1)) dt de 0 a 1. I = Int(e^(3t+4)) dt de 1 a 2. I = Int(1 / (3x + 2)) dx de 0 a 1. I = Int(tan(t)) dt de 0 a pi/2. I = Int(e^2 / (t * ln(t)))dt de 1 a 2. I = Int(cos^5(t)) dt de 0 a pi/2. I = Int(1 / ((x-1)(x+2)))dx de 2 a 3.
Exercice 2
Primitives et intégrales
Calculer l'intégrale en utilisant les propriétés de l'intégration (relation de Chasles, linéarité). a) I = Int(lnt)dt de 1 a e + Int(t + ln^2(t)) dt de 1 a e. b) J = Int(ln(1 + t^2))dt de 1 a e + Int(ln(1+ t^2))dt de 1 a e. c) K = Int(cos^2(t))dt de 0 a pi/6 - Int(cos^2(t))dt de pi/6 a 7pi/6.
Exercice 3
Primitives et intégrales
Calculer les intégrales I à l'aide d'une intégration par parties I = Int(xlnx)dx de 1 a e. I = Int(lnt)dt de 1 a e. I = Int((x - 1)cosx)dx de 0 a pi/2. I = Int((x + 2)e^x)dx de 0 a 1. I = Int(xsin3x)dx de 0 a pi/3. I = Int((2x + 1)e^(-x))dx de 0 a 1. I = Int((t - 2)e^(2t))dt de 1 a 2. I = Int(x/sqrt(x+1))dx de 0 a 1.
Exercice 4
Primitives et intégrales
Utiliser la parité des fonctions pour évaluer les intégrales proposées. I = Int(sin(x) - x)dx de -pi a pi. I = Int(e^x / (1 + e^x)) dx de -1 a 1. I = Int(ln((1-x)/(1+x))) dx de -1 a 1. I = Int(t^2 / (1 + t^2)) dt de -2 a 2.
Exercice 5
Primitives et intégrales
1. a) Calculer I_1 = Int(1 / (1+x^2)) dx de 0 a 1. b) On se propose de calculer I_2 = Int(x^3 / (1+x^2)) dx de 0 a 1. Calculer I_1 + I_2 et déduisez-en la valeur de I_2. 2. On souhaite calculer I = Int(sin^2(x) / (1+2sinx)) dx de 0 a pi. a) Calculer J = Int(cos(x) / (1+2sinx)) dx de 0 a pi. b) Calculer I + J et déduisez-en la valeur de I.
Problème 1
Primitives et intégrales
On note K = Int(e^x * cos(2x)) dx de 0 a pi, I = Int(e^x * cos^2(x)) dx de 0 a pi et J = Int(e^x * sin^2(x)) dx de 0 a pi. 1. A l'aide d'une double intégration par parties, prouver que K = (e^pi - 1)/5. 2. Calculer I + J et I – J. Déduisez-en les valeurs de I et J. 3. En exprimant cos^2(x) et sin^2(x) à l'aide de cos(2x), retrouver à l'aide de K les valeurs de I et J.
Problème 10
Problème 11
Suites numériques
P est la demi-parabole d'équation y = 1/4 x^2 avec x dans l'intervalle [0; +infini[. n est un entier naturel. On note u_n l'aire du domaine limité par P et les droites d'équations x = n + 1 et y = 1/4 n^2. Démontrer que la suite (u_n) est une suite arithmétique. Préciser sa raison.
Problème 12
Fonctions
f est la fonction définie sur [0; 2] par f(x) = (x – 2)e^x et (C) est sa courbe dans un repère orthonormal (O; i; j) (unité graphique : 1cm). 1. Etudiez les variations de f puis tracez (C). 2. S est la partie du plan comprise entre (C) et l'axe des abscisses. Calculer la valeur exacte de l'aire de S, puis donne une valeur approchée à 10^(-2) près. 3. En tournant autour de l'axe(O; i), S engendre un solide de révolution de volume V. a) Trouver des réels a, b et c tels que la fonction G définie par G(x) = (ax^2 + bx + c)e^(2x) soit une primitive de f^2 sur R. b) Déduisez-en la valeur exacte de V, puis une valeur approchée à 10^(-3) près.
Problème 13
Problème 2
Primitives et intégrales
f est la fonction définie sur ]1; +infini[ par f(x) = ln(x + sqrt(x^2 – 1)). 1. Calculer f'(x) puis déduisez-en I = Int(1 / sqrt(x^2−1)) dx de sqrt(2) a 2. 2. On pose J = Int(sqrt(x^2 – 1)) dx de sqrt(2) a 2. A l'aide d'une intégration par parties, exprimer I + J en fonction de J. 3. Déduisez-en la valeur de I.
Problème 3
Primitives et intégrales
1. g est la fonction sur ]1; +infini[ par : g(x) = 1/(x(x^2-1)). a) Trouver des réels a, b, c tels que pour tout x > 1, g(x) = a/x + b/(x+1) + c/(x-1). b) Déduisez-en une primitive G de g sur ]1; +infini[. 2. f est la fonction définie sur ]1; +infini[ par f(x) = (2x)/(x^2-1)^2. Trouver une primitive F de f sur ]1; +infini[. 3. Utiliser les résultats précédents pour calculer I = Int((2x)/(x^2-1)^2 * ln(x)) dx de 2 a 3. Donner le résultat sous la forme p ln2 + q ln3 avec p et q rationnels.
Problème 4
Primitives et intégrales
On se propose d'encadrer l'intégrale : I = Int(e^(-x^2) / (1+x)) dx de 0 a 1. 1. En étudiant les variations des fonctions u et v définies sur l'intervalle [0; 1] par : u(x) = e^(-x) + x − 1 et v(x) = 1 − x + x^2/2 − e^(-x) ; prouver que pour tout réel x dans[0; 1], 1 − x <= e^(-x) <= 1 − x + x^2/2 [1]. 2. Déduisez-en un encadrement de e^(-x^2) lorsque x est dans l'intervalle [0; 1] puis prouver que pour tout x dans l'intervalle [0; 1] : 1 − x <= e^(-x^2) / (1+x) <= 1 − x + x^4 / (2(1+x)) [2]. 3. a) Vérifier que pour tout x dans l'intervalle [0; 1], x^4 / (1+x) = x^3 - x^2 + x - 1 + 1/(1+x). b) Déduisez alors de [2] que : 5/24 <= I <= 1/2 + 1/2 ln2, puis donnez une valeur approchée de I à 3 x 10^(-2) près.
Problème 5
Primitives et intégrales
Pour tout entier naturel n, on considère les réels I_n = Int(e^(-nx) * sin(x)) dx de 0 a pi et J_n = Int(e^(-nx) * cos(x)) dx de 0 a pi. 1. Calculer I_0 et J_0. 2. On suppose n >= 1. a) En intégrant par parties I_n, puis J_n, prouvez que : I_n + n J_n = 1 -n I_n + J_n = e^(-n*pi) b) Déduisez-en les expressions de I_n et J_n en fonction de n. 3. Calculer lim (n->+infinity) I_n et lim (n->+infinity) J_n.
Problème 6
Suites numériques
La figure ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal de la fonction f définie sur R par f(x) = (x + 1)e^(-x). On note (u_n) la suite définie sur R par u_n = Int((x + 1)e^(-x)) dx de n a n+1. 1. a) Interpréter u_n géométriquement. b) A l'aide d'une intégration par parties, calculer u_n en fonction de n. c) La suite (u_n) est-elle convergente ? 2. On pose S_n = sum(k=0 to n) u_k = u_0 + u_1 + ... + u_n. Calculer lim (n->+infinity) S_n.
Problème 7
Fonctions
La fonction f est définie sur R par : f(x) = 1 + x − x * e^(-x^2 + 1) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique :2cm). 1. Prouver que C admet le point I(1; 0) comme centre de symétrie. 2. Démontrer que C admet une asymptote (D) en +infini et préciser leur position relative. 3. Pour tout réel lambda, lambda >= 0, A(lambda) désigne l'aire, exprimée en cm^2, du domaine défini par C, (D) et les droites d'équations x = 0 et x = lambda. a) Exprimer A(lambda) en fonction de lambda. b) Quelle est la limite A de A(lambda) lorsque lambda tend vers +infini? c) Déterminer un réel lambda_0 tel que, lorsque lambda >= lambda_0, alors |A – A(lambda)| >= 10^(-2).
Problème 8
Primitives et intégrales
Tracer la courbe (C) de la fonction f dans un repère orthonormal (unité : 2cm), puis calculer l'aire en cm^2 du domaine limité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. a) f(x) = 2 + x − x^2 ; a = 0; b = 1. b) f(x) = ln(x + 1) ; a = -1/2; b = 0. c) f(x) = (x + 1)e^(-x) ; a = -1/2; b = ln2. d) f(x) = 6/((2x+1)^2) ; a = 1; b = 4.
Problème 9
Fonctions
On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle [0; +infini[ par : f(x) = ln(x + 1) et g(x) = e^x – 1. On note (C_f) et (C_g) leurs courbes dans un repère orthonormal (O; i; j). 1. Vérifier que (C_f) et (C_g) ont une tangente commune Delta au point O. Préciser la position de (C_f) par rapport à Delta. 2. Prouver que (C_f) et (C_g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. 3. Soit a un réel, a > 0. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre : I(a) = Int(ln(x + 1)) dx de 0 a a. a) Tracer (C_f), (C_g) et Delta. b) Par des considérations sur les aires justifier que : I(a) = a ln(a + 1) – Int(e^x – 1) dx de 0 a ln(a+1). c) Déduisez-en I(a). d) Retrouvez la valeur de I(a) en effectuant une intégration par parties.
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