Mathématiques · Lycée de Madingring · Annee : 2021/2022 · 1ère Evaluation du Premier Trimestre · Première d
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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EXERCICE 1
Trigonométrie
1. Soit l'équation (E) : 4 sin²x - 2(√3 + 1) sinx + √3 = 0 a. Montrer que (√3 – 1)² = 4 – 2√3. b. Résoudre dans R l'équation 4t² - 2(√3 + 1)t + √3 = 0 c. En déduire les solutions sur l'intervalle [0; 2π] de l'équation (E), puis placer les points images de ces solutions sur le cercle trigonométrique. d. En déduire aussi la solution sur l'intervalle [0; 2π] de l'inéquation 4 sin²x - 2(√3 + 1) sin x + √3 < 0. 2. Soit l'équation (E') : 4 sin³ x - 2√3(√3 – 1) sin²x - (√3 + 2) sin x + √3 = 0 a. Montrer que (sinx+1) [4 sin2x - 2(√3 + 1) sinx + √3] = 0 ⇔ 4 sin³ x-2√3(√3-1) sin²x-(√3+2) sinx+√3 = 0 b. En déduire l'ensemble solution de (E') dans l'intervalle [0; 2π].
4.5 ptsEXERCICE 2
Systèmes linéaires
1. Résoudre dans R × R par la méthode des déterminants le système suivant après avoir fait un changement des variables : (S1): { 3|x| + 4y² = 25 2|x| - y² = 2 2. Soit le système dans R³ suivant : x + y + z = 89 3x + 4y + 3,5z = 313 20x + 5y + 8z = 910 a. Résoudre ce système par la méthode de pivot de Gauss. b. Une entreprise fabrique des jouets en bois qui nécessitent ; 2kg de bois et 3h de travail pour un camion ; 500g de bois et 4h de travail pour un pantin; 800g de bois et 3h30 de travail pour un chien à traîner. Déterminer le nombre de camions, de pantins et de chiens fabriqués si on utilise exactement 91kg de bois, si on travaille 313h et si on fabrique 89 objets au total.
3.25 ptsEXERCICE 3
Équations et inéquations
1. Résoudre dans R l'équation √4x + 1 = x − 5. 2. Résoudre dans R l'équation x − √2x + 1 = 7 3. Résoudre dans R l'inéquation √x + 1 < x 4. Résoudre dans R l'inéquation -x + 5 > √x + 1.
4 ptsEXERCICE 4
Trigonométrie
1. montrer que cos (25pi/8) sin (11pi/8) + cos (11pi/8) sin (25pi/8) = 1. 2. Soit x un réel non nul et différent de pi/2 + kpi, k ∈ Z. Démontrer que sin 5x / cos 5x - sin x / cos x = 4 cos 2x. 3. Les longueurs de trois côtés d'un triangle rectangle sont trois entiers naturels consécutifs. Trouver ces trois longueurs. 4. Répondre par vrai ou faux L'équation x² - (m + 1)x + m = 0 admet une solution double si et seulement si m ≠ 1.
3.75 ptsPARTIE B
Systèmes linéaires
Situation : Des jeunes étudiants doivent louer un appartement à 30 000 Frs qu'ils doivent payer équitablement, mais ne dispose que de 20 000 Frs. Soudain, ils constatent que avec la présence de deux personnes de plus, la location pourrait être réglée. L'autre problème se trouve au niveau des factures d'électricité dont le prix du Kilowatt est de 100 Fr au 1er janvier mais augmente chaque mois de x pour cent. Au mois de Mars, le Kilowatt coute ainsi 121 Fr. Pour la nutrition, ils s'organisent comme suit : ils prévoient consommer du macabo, du patate et d'igname qui se vend en kilogramme. - Ali, l'un de ces étudiants a acheté 1kg de chaque variété à 6000 Frs. - Stéphane a acheté 1kg de patate et 1kg d'igname à 4000 Frs. - Alex, a acheté 1kg de macabo et 1kg d'igname à 3000 Frs - Roméo, voudrait acheter 3kg de macabo et dispose de 5500 Frs. Tâche 1 : Quel est le montant que chaque jeune va débourser ? Tâche 2 : Quel est le prix du Kilowatt au mois d'Avril? Tâche 3 : Roméo pourra-t-il effectuer ses achats?
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