Mathématiques · Lycée Bilingue de Bonassama · Première C · : : 2021
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Trigonométrie
1) Résoudre dans IR l'équation (E) : 4x² – 2x − 1 = 0. Pour toute la suite, on pose x = cos π/5 et y = sin 2π/5. 2) Exprimer sin 2π/5 en fonction de x et y. 3)a) Justifier que cos 2π/5 = 1 – 2y² = 2x² – 1. b) En déduire que sin 3π/5 = y(4x² – 1). 4) a) Justifier que sin 2π/5 = sin 3π/5. b) En déduire que x vérifie l'équation (E). c) En déduire que cos π/5 = √5+1/4 et sin π/5 = √10-2√5/4
5 ptsExercice 2
Géométrie dans le plan
Le plan est muni du repère orthonormé (O ; I ; J). Le candidat fera une figure complète. Soit (D) la droite de représentation paramétrique x = t y = -2 + 2t ; t ∈ IR. On donne les points A(0; -2), B(1 + √2; √2), C(5 ; −3) et D(2; 2). 1) Citer parmi ces points ceux qui appartiennent à la droite (D). 2) On donne le vecteur n(-2; 1). a) Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur u de (D), puis montrer que u et n sont orthogonaux. b) Calculer les coordonnées du point I, milieu du segment [AD], puis en déduire une représentation paramétrique de la droite (Δ), médiatrice du segment [AD]. 3) Déterminer une équation cartésienne du cercle (C) de diamètre [AD]. 4) Calculer les coordonnées de M et N, points d'intersection de (Δ) et (C). 5) Quelle est la nature exacte du quadrilatère AMDN ?
4.25 ptsExercice 3
Barycentre
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a, I est le milieu de [BC] et D est le symétrique de A par rapport à (BC). 1. a) Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? 2. Montrer que le produit scalaire AB . AC = a²/2. 3. Déterminer et construire (E) l'ensemble des points M du plan tels que MB . MC = a²/2 4. a) Montrer que pour tout point M du plan, MB . MC = MA² + MA . AD + a²/2. b) En déduire et construire l'ensemble (E') des points M du plan tels que : MB . MC = MA². 5. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 2) ; (B, 1) et (C, 1) et on définit pour tout point M du plan l'application f : M → MA² + MB . MC. a) Montrer que G est milieu de [AI]. b) Montrer que f (M) = f(G) + 2MG². c) Calculer f(A)et f(G). Enduire la nature de la ligne de niveau f(M) = -a²/8
6 ptsPARTIE B
Barycentre
Aux extrémités E et F d'une perche de longueur 2 mètres, deux seaux sont fixés, l'un de 20kg en E et l'autre de 5kg en F(voir figure 1). ISSA est un porteur d'eau et utilise ce dispositif pour livrer de l'eau dans un chantier qui fabrique deux types de plaques de plâtre : type 1 et type 2. Chaque plaque de plâtre de type 1 a la forme d'un triangle rectangle dont l'aire est A1 = 24cm² et la valeur absolue de la différence des carrés des longueurs des côtés adjacents à l'angle droit égale à 28cm². La plaque de plâtre de type 2 a la forme d'un trapèze ABCD d'aire A2=180cm². Figure 1 (illustration d'une perche avec seaux de 20kg et 5kg) Figure 2 (illustration d'un triangle rectangle avec côtés a, b, c) Figure 3 (illustration d'un trapèze avec sommets A, B, C, D et K, avec CK = x; DK = 42cm; AB = 2x; mes BCD = 45°.) Tâches : 1. En quel point G de la perche, ISSA doit-il poser son épaule pour trouver l'équilibre ? 2. Calculer les dimensions de la plaque de plâtre de type 1. 3. Calculer les dimensions de la plaque de plâtre de type 2.
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