Travaux Dirigés sur la Trigonometrie · 2025/2026 · Kaka Dairou/Lycée Bilingue de Ngong · TLeC,D,TI
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EXERCICE 1
Trigonométrie
Déterminer les égalités suivantes que ∀ φ ∈ IR a) Cos(φ + sinφ)2 – (Cosφ – sinφ)2 = 4Cosφ.sinφ b) Cos²φ + sin²φ = 1 – 2Cos²φ.sin²φ c) Cos4φ – sin4φ + 2Cos²φ + 4sin²φ = 3 d) Cos4φ – sin4φ – Cos²φ + 3Cos²φ = 2 e) Cos²φ – sin4φ = Cos2φ f) (Cosφ + sinφ)² + (Cosφ – sinφ)² = 2 g) Cos4φ + sin4φCos²φ – sin²φ = 0 h) (sinφ – Cosφ)(1 – Cosφ.sinφ) – sin(φ – Cosφ)² = Cosφ – sinφ i) Cosφ/ (1 – sinφ) + Cosφ / (1 + sinφ) = 2/Cosφ j) Cos(π/2 – φ) + sin(π/2 – φ) = sinφ + Cosφ k) (1 + tanφ)² / (1 + tan²φ) = 1 + sin(2φ) l) tan(π/4 + φ) = (1 + tanφ) / (1 – tanφ)
EXERCICE 10
Équations et inéquations
Soit l'équation (E22): 4z² - (10 - 2√2)z - 5√2 = 0. 1- Montrer que: E22 admet deux solutions distinctes. 2- Montrer que z = √2/2 est solution de (E22) puis déduire sans résoudre l'équation l'autre solution. 3- On considère sur ]-π; π] l'équation (E33) : 2cos(4x) - (10 - 2√2)cos(2x) + 2 - 5√2 = 0. a- En posant X = cos(2x), montrer que E22 et E33 sont équivalentes. b- Résoudre (E33), puis placer ses solutions sur le cercle trigonométrique.
EXERCICE 11
Trigonométrie
1- Pour tout φ ∈ IR, Montrer: 1/Cos²(φ) = 1 + tan²(φ). 2- Montrer que pour tout φ ∈ IR, √3cos(2φ) - Sin(2φ) = 4 cos² (φ + π/12) - 2. 3- Déduire que pour tout φ = 0, 1/(1+tan²(φ)) = 2 + √3 et que tan(π/12) = 2 - √3. 4- On pose ∀ φ ∈ ]–π/2; π/2[ \ {π/4}, K(φ) = (Cos(φ) +Sin(φ)) / (Cos(φ) -Sin(φ)). a- Montrer que, K(φ) = tan (φ + π/4), puis retrouver la valeur de tan(π/12). 5- a. Montrer que ∀ φ ∈ ]–π/2; π/2[, K(φ) = (1+Sin(2φ)) / Cos(2φ). b. Déduire la résolution dans ]–π/2; π/2[ de l'équation (E): √3Cos(2φ) = Sin(2φ) + 1. c. Résoudre dans ]–π/2; π/2[ l'équation (E24): (2-√3)sin(2φ) + cos(2φ) = 1.
EXERCICE 12
Trigonométrie
On considère les expressions X = Cos(π/12) + Sin(π/12) et Y = Cos(π/12) - Sin(π/12). 1- Montrer que Y = √6/2. 2- Montrer que pour tout réels, Sin(η) + Cos(η) = √2 cos(η – π/4) et Déduire que X = √6/2. 3- a-vérifier que Cos(π/12) et Sin(π/12) sont les solutions l'équation (E33) : x² - √6/2 x + 1/4 = 0. b- Résoudre (E33) puis déduire les valeurs de: Cos(π/12) et Sin(π/12) Et Vérifier que tan(π/12) = 2 - √3. 4- Transformer en pcos(2η + ψ) l'expression K(η) = (2 – √3)Sin(2η) + Cos(2η). 5- Montrons que K(η) = 2pcos² (η – π/24) - 1.
EXERCICE 13
Polynômes
On souhaite déterminer les valeurs exactes de p = cos(π/9) + cos(7π/9) + cos(13π/9); q = cos(2π/9) + cos(8π/9) + cos(14π/9); r = cos(π/9) cos(7π/9) cos(13π/9). On pose a = cos(π/9); b = cos(7π/9); c = cos(13π/9). 1- Résoudre dans [0; π[ l'équation cos(3x) = 1/2. 2- Montrer que c(3x) = 4 cos(x) – 3 cos(x). 3.1. Déduire que les réels a, b et c sont solutions les unique solutions de l'équation 8X³ - 6X − 1 = 0. 3.2. Déduire de la question 3-1 que 8X³-6X- 1 = (X – a)(X – b)(X – c).
EXERCICE 14
Trigonométrie
4- Développer 8(X – a) (X – b) (X – c) et déduire les valeurs de p; q et r. Soit pour tout φ ∈ IR K(φ) = Cos²(φ) + √3 Cos(φ) Sin(x) + 3 Sin²φ - 4 = 0. 1- Montrer que pour tout φ ∈ IR, K(φ) = 2 Sin(φ) Cos(φ + π/6). 2- Montrer que 2 sin p cos q = sin(p + q) + sin(p - q). 3- Déduire que : K(φ) = Sin (2φ + π/6) - 1/2. 4- Calculer K (π/12) puis deduire la valeur exacte de Cos(π/12) et Sin(π/12). 5- Résoudre dans [-π; π[ l'équation 2K(φ) = −1.
EXERCICE 15
Trigonométrie
On considère l'équation (E₁): -2cos²(η) + (√2-√3) Sin(η) – √6/2 + 2 = 0. 1- Montrer que √3+√2 = √5+ 2√6. 2- Résoudre dans IR l'équation 4λ² + 2(√2-√3)λ – √6 = 0. 3- Montrer que l'équation (E₁) est équivalente à (E22) : 4Sin²(η) + 2(√3-√2) Sin(η) – √6 = 0. 4- En déduire sur dans l'intervalle [0; 2π[les solutions de l'équation (E₁). 5- Placer les points images des solutions de l'équation (E₁) sur le cercle trigonométrique. Unité : 2 cm. 6- Quelle est la nature exacte du polygone obtenu? Justifier.
EXERCICE 16
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE « C > 2003) : 1. Déterminer les valeurs exactes du Cos (11π/6) et sin (11π/6). 2. En déduire que Cos² (11π/12) = (2+√3)/2 et sin² (11π/12) = (2-√3)/2. 3. Déterminer les valeurs exactes de Cos(11π/12) et sin(11π/12) en justifiant les réponses. 4. Résoudre dans l'intervalle [0; 2π] l'équation: 2-√3sin(ω) + 2+√3cos(ω) = √2.
EXERCICE 17
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2004). On considère dans [0; 2π] les équations: (E): C(η)sin(η) + Cos²(η)=Cos(2η) et à (E') : sin²(η) + sin(η)Cos(η)=1. 1. a) Montrer que les équations (E) et (E') sont équivalentes dans [0; 2π]. b) Résoudre dans [0; 2π] l'équation (E). 2. Placer sur le cercle trigonométrique les points images des solutions de cette équation. On prendra 3cm comme unité de longueur.
EXERCICE 18
Équations et inéquations
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2005). 1. Ecrire (1+√3)² sous la forme a + b√3. 2. Résoudre dans IR l'inéquation (I') : x² + (1 - √3)x - √3 < 0. 3. Déduire dans]-π; π[, l'ensemble des solutions de l'inéquation (I) : tan²a +(1 - √3)tana - √3 < 0.
EXERCICE 19
Systèmes linéaires
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2007). 1. Résoudre de IRxIR le système {2x+5y = -4; 3x-2y = 3,5}. 2. En déduire dans [-π ;π]² les solutions du système {2 sin x + 5 cos y = -4; 3 sin x-2 cos y = 3,5}.
EXERCICE 2
Trigonométrie
1- Soit φ ∈ IR, démontrer que : 2.Cos²(φ) = 1 + Cos(2φ). 2- En admettant que Cos(π/8) = (√2 + √2)/2 et Sin(π/8) = (√2 - √2)/2, montrer que Cos(π/4) = √2/2 et Sin(π/4) = √2/2. 3- Déduire les valeurs exactes de Cos(7π/8) et Sin(7π/8). 4- Résoudre dans IR l'équation (Eφ): √4 + √4 – √8cos(φ) + √4 + √4 + √8sin(φ) = – √2.
EXERCICE 20
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2011) 1. Soit θ un nombre réel. a. Développer (cos² θ – sin² θ) ². b. En déduire que cos⁴θ + sin⁴θ = 1/2 (1 + cos²2θ). c. Resoudre dans ] – π,π[ l'équation cos⁴θ + sin⁴θ = 5/8.
EXERCICE 21
Polynômes
(EXTRAIT PROBATOIRE « » 2013) I- Montrer que pour tout réels 3. On considère la fonction polynôme p définie pour tout réel x par p(x) = 2x³ + 5x² + x - 2. (a) Calculer p(-1); en déduire que p(x) = (x+1)(ax² + bx + c) où a, b et c sont des réels que l'on déterminera. [1pt] (b) Résoudre alors dans l'équation: 2sin²x+5sin²2x+sin²x-2=0. [1,5pt]
EXERCICE 22
Systèmes linéaires
(EXTRAIT PROBATOIRE <C>2014): 1- Calculer (√3+1 / 2 - √3/2)² puis resoudre dans IR² le système {a+b = √3+1/2; ab = √3/4}. 2) En déduire dans]0; π[ × ]0; π[les solutions du système {2sinx + 2siny = √3 + 1; 4sinxsiny = √3}.
EXERCICE 23
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE <C>2015): 1. Résoudre dans R l'équation : 4x²-2x-1=0. Pour toute la suite, on pose x = cos(π/5) et y = sin(π/5). 2. Exprimer sin(2π/5) en fonction de x et y. 3. (a) Justifier que cos(2π/5) = 1-2y² = 2x² -1. (b) En déduire que sin(3π/5) = y(4x²-1). 4. (a) Justifier que sin(2π/5) = sin(3π/5). (b) En déduire que: 4x²-2x-1=0. (c) Déduire alors que: cos(π/5) = (√5+1)/4 et sin(π/5) = √(10-2√5)/4.
EXERCICE 24
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2017) On considère l'équation (E): 2√2cos²x + (2-√2)cosx-1=0 et le polynôme P(x)= 2√2x² + (2-√2)x-1 de variable réelle x. 1- Calculer P(√2/2). 2- Vérifier que le polynôme P(x) admet 2 racines distinctes. 3- En utilisant la somme ou le produit des racines, déterminer l'autre racine. 4- En déduire dans l'intervalle [0; 2π[, l'ensemble solutions de l'équation (E). 5- Placer les points images des solutions de (E) sur un cercle trigonométrique.
EXERCICE 25
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2021) 1- Verifier que: (√3+ 1)² = 4-2√3. 2- Résoudre dans IR l'équation : 2y² + (1 + √3)y - √3/2 = 0. 3- En déduire sur dans [0; 2π[les solutions de l'équation (E₁): 2Cos²x + (1+√3) Cosx - √3/2 = 0.
EXERCICE 26
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «C» 2022) 1. Résoudre dans ]-π; π[ l'équation ACos(2x-π/3) = 1. 2. Exprimer Cos²t + tan²t + sin²t en fonction de Cost. 3. Déterminer A et φ tels que √3cos(2t) – sin(2t) = Acos(2t-φ).
EXERCICE 27
Équations et inéquations
(EXTRAIT PROBATOIRE <C>2023) 1- Calculer (√2 + 1)². 2- Résoudre dans IR l'équation : 4x² + 2(√3 – 1) x - √2 = 0. 3- En déduire sur dans] -π;π] les solutions de l'équation (E1): 4 sin²x+2(√3 - 1) sinx-√2 = 0. 4- Placer les points A, B, C et D. Images respectives des réels -3π/4; -π/4; π/6 et π/4 sur le cercle trigonométrique. 5- Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.
EXERCICE 28
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «D» 2021) 1- Démontrer que : Cos(π/12) Cos(5π/12) + sin(π/12)sin(5π/12) = Cos(π/12) - sin(5π/12) = 0. 2- Déduire que la valeur exacte de Cos(π/12) est (√6+√2)/4. 3- Résoudre dans [0;2π[l'equation Cos(x-π/12) = Cos(5π/12). 4- Déduire dans ]0;2π] Cos(x) - Cos(π/12) > 0.
EXERCICE 29
Polynômes
(EXTRAIT PROBATOIRE <P> 2022) Soit P le polynôme défini par : P(x) = -2x² + 3x + 2. 1. a. Déterminer la forme canonique de P (x). b. En déduire que 2 et -1/2 sont les solutions dans R de l'équation P(x) = 0. 2. On considère l'équation (E): cos(2x)+3 sin(x) + 1 = 0 et l'inéquation (I): cos(2x) + 3 sin(x) + 1 < 0. a. Montrer que pour tout z∈ R, cos(2x) + 3 sin(x)+1 = -2 sin²(x) + 3 sin(x) + 2. b. Résoudre alors dans R., l'équation (E). 3. Résoudre dans [0;2π[, l'inéquation (I).
EXERCICE 3
Trigonométrie
Pour tout nombre réel η 1- On donne K(η) = (√2 + 1) cos² (η) + (√2 – 1) sin² (2η) + 2 sin(η) cos (η) – √2 a- Montrer que K(η) = sin(3η) + cos(3η). b- Déduire que ∀ η ∈ IR, K(η) = √2 cos(3η – π/4). 2- Résoudre dans]–π; π] l’équation (E): sin(3η) + cos(3η) = 1. a- Représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. b- Calculer le périmètre polygone obtenu.
EXERCICE 30
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE D 2023) On considère l'équation (E): (2cos²x - (2 + √2) Cosx + √2) (√3 Cos x + sinx - 1) = 0 dans IR. 1- Vérifier que 1 et √2/2 sont les solutions de l'équation (E24): x² - (2+√2)/2 x + √2/2 = 0. 2- Déduire la résolution dans IR de l'équation (E6) 2cos2x - (2 + √2) Cosx + √2 = 0. 3- Montrer que: √3cos(x) + sin(x) = 2Cos (x - π/6). 4- Déduire la résolution dans IR de l'équation √3 Cosx + sinx - 1 = 0. 5- Déduire les solutions dans IR de l'équation (E).
EXERCICE 31
Trigonométrie
(EXTRAIT PROBATOIRE «D» 2024) 1- Démontrer que pour tous réel x, on a: -2 + C(x) < 0. 2- Démontrer que pour tous réel x, on a : -3C(x)-2sin2x = (1+2cosx)(-2+Cos x). 3- Résoudre dans [0; π[l'equation - 3Cos(x)-2sin2x=0. 4- Résoudre dans [0; π[l'equation - 3Cos(x)-2sin2x > 0.
EXERCICE 32
Trigonométrie
On donne Cos(3π/5) = (1-√5)/4 et l'équation (E) :: 1+tan²x+(1-√2) Cosx-√2/2=0. 1- Sachant que 2x = 3π/10 - 3π/5 Calculer les valeurs exactes de cos(3π/10) et sin(3π/10). 2- Démontrer les égalités suivantes: (1 + √2)² = 3+ 2√2; 1/(1+tan²x) = Cos²x. 3- Montrer que (E) est équivalente à: 2Cos²x+(1-√2)Cosx-1=0. 4- Résoudre (E) et placer les solutions sur le cercle trigonométrique. 5- Résoudre dans [0;2π] l'inéquation : 2cos²x + (1-√2) Cosx-1/2 ≥ 0.
EXERCICE 33
Trigonométrie
1) Sachant que π/4 = 2 x π/8 calculer les valeurs exactes de cos(π/12) et sin(π/12). 2) Sachant que π/4 = 2 x π/8 calculer les valeurs exactes de cos(π/8) et sin(π/8). 3) On considère A(x) = cosx + √3sinx. a) Montrer que A(x) = acos(x + β) a et β étant des réels à déterminer. b) Résoudre dans [0,2π] l'équation A(x) = √2. 4) Soit le polynôme p(x) = 4 sin²x - 4(1 + √3) sin x.cosx + √3. a) Calculer (1 - √3)². b) Résoudre dans R, l'équation 4x² - 2(1 + √3)x + √3 = 0. c) Montrer que p(x) = 4 sin²x - 2(1 + √3) sin 2x + √3. d) En déduire dans [-π, π] les solutions de l'équation trigonométrique p(x) = 0. e) Déduire de tout ce qui précède la résolution de l'inéquation p(x) ≤ 0 dans [-π,π].
EXERCICE 34
Trigonométrie
1) Soit α un nombre réel de l'intervalle [0; π/2] tel que cos α = (√6+√2)/4. a- Vérifier que ((√6-√2)/4)² = 2-√3. En déduire la valeur de sin α. b- Calculer cos 2α et en déduire la valeur de α. 2) Soit (E) l'équation x ∈ R, [(√6 + √2) cos2x + (√6 - √2) sin 2x]² = 4. a- Démontrer que l'équation (E) est équivalente à cos²(2x - π/4) = 1/2. b- Résolvez alors l'équation et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. 3) Résolvez dans ]-π; π] l'inéquation [(√6 + √2) cos 2x + (√6-√2) sin 2x]² ≥ 4.
EXERCICE 35
Trigonométrie
2- On suppose que x ∈ [0; π/2], cos(3π/5) = (1-√5)/4; et que 3π/5 = 2 x 3π/10. a- Montrer 2cos²(x) = 1 + cos(2x) et que 2sin²(x) = 1 - cos(2x). b- Calculer la valeur exacte de cos²(3π/10) et sin²(3π/10) et déduire cos(3π/10) et sin(3π/10). [0,5pt] 3- Soit G un point tels que G = bar {(A; √5-√5 cos(3x)); (B; √3+√5sin(3x)); (C.-√2)} et on pose A = √5-√5 cos(3x) + √3+√5 sin(3x). a- Déterminer (λ, φ) ∈ IR tels que A(x) = λ cos(3x + φ). [1pt] b- Résoudre dans[0; 2π] l'équation A(x) - √2 = 0. [1pt] c- Déterminer la valeur de x pour lequel G existe. [0,25pt] d- Pour x = π/10 montrer que G= bar{(A; √5-√5), (B; 3 + √2), (C,-4)}. [0,25pt]
EXERCICE 36
Nombres complexes
I- Soit l'équation (E) d'inconnu z définie par : z² – 2 (sin η + cos η)z + 2 sin(2η) = 0. avec η ∈ IR. Montrer que pour tout η ∈ IR : 4(sin η + cos η)² – 8 sin 2η = [2(sin η – cos η)]². a- Déduire le discriminant de l'équation ci-dessus. b- Résoudre alors L'équation (E). on notera x et y ces deux solutions. 2- Dans le plan muni du repère (O;I;J), on considère le point M(x; y) tel que OM = 2Cos ηI + sin ηJ. a- Montrer que M(x; y) vérifient l'ensemble (Σ) des poin du plan tels que: x² + y² – 4 = 0. b- Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (Σ) puis tracer (Σ) dans (O;I;J).
EXERCICE 37
Équations et inéquations
Soit l'équation (E): 4x² + 2(1 - √2)x + √2 = 0. 1- Résoudre dans IR l'équation (E). 2- Déduire la solution de l'équation (I): 1/(1+tan²(x)) + 2(1-√2)cosx + √2tan²x = 0. 3- Apres avoir calculer (√2-√3)² résoudre dans IR l'equation (E1): 4x² + 2(√2-√3)x + √6 = 0. 4- Déduire la solution l'equation (E1): -4Sin²x + 2(√2-√3)Cosx + √6 = 0.
EXERCICE 38
Trigonométrie
On considère l'expression Φ(x) définie par Φ(x) = cos²3x + 2 sin 3x cos 3x - sin²3x. 1. a) Montrer que Φ (x) = -cos 6x + sin 6x. b) Montrer que Φ (x) = √2 cos (6x - π/4). 2. a) Résoudre dans IR l'équation Φ (x) = -1. b) Représenter les images des solutions de cette équation sur un cercle trigonométrique.
EXERCICE 39
Trigonométrie
On considère l'équation (E1): [(Cos(8) – √3Sin(8)) / 2] [(Cos(2δ) + Sin(2δ)) / √2] = 0. 1- Montrer que : Cos(2δ)sin(δ) – Sin(2δ)cos(δ) = -sin(δ). 2- Montrer que Cos(δ) – √3Sin(δ) = 2Cos(δ + π/3). 3- Résoudre dans [-2π ; π] l'équation E1: 2Cos(δ + π/3) = 1. 4- Résoudre dans [-2π ; π] l'équation 1 + sin(δ) = 0. 5- Déduire dans [-2π ; π] les solutions de l'équation E1: (Cos(8) – √3Sin(8)) / 2] [(Cos(2δ) + Sin(2δ)) / √2] = 0.
EXERCICE 4
Trigonométrie
1- On considère les expressions suivantes : H(φ) = tan(ω) – √2Cos(ω). G(φ) = √2 / sin(ω) – √2 / cos(ω). a- Déterminer la contrainte sur H(φ). b- Montrer que résoudre H(ω) revient à résoudre l’équation E0: 2τ² + τ – 1 = 0 2- On suppose que ω ∈ ]–π/2; π/2[. a- Montrer que H(ω) est équivalant à A(ω) = sin(ω) – √2Cos²(ω) b- Montrer que A(ω) est équivalant à H(ω) c- Montrer que K(ω) = 0 est équivalant à H(ω) d- Résoudre dans IR l’équation E0 puis déduire la solution de l’équation H(ω) = 0 3- Résoudre dans l’équation K(ω) = 0 dans ]–π/2; π/2[ puis placer les images des solution sur le cercle trigonométrique
EXERCICE 40
Polynômes
On considère (E): x ∈ IR, 8x⁴ – 4√3x² – 2x + √3 = 0. 1. Vérifier que √3/2 est une solution de (E). 2. Trouver toutes les solutions de (E). 3. Résoudre dans [0; 2π], l'équation: (E'): 8sin⁴x – 4√3sin²x – 2sinx + √3 = 0. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique.
EXERCICE 41
Trigonométrie
L'équation (E): 3Cos²(2θ) – Sin²(2θ) + 1 = 0. 1- Montrer que l'équation (E) est équivalente à : Cos(4θ) + 1 = 0. 2- Soit l'équation (E2025) définie par : π = 1/2 [Cos(η) + 5/2 Sin(η)] – [Cos(η) + 5/2 Sin(η)] + η. a- Montrer que (E2025) est équivalent à Sin²(η) = 1/2. b- Déduire la résolution de E2025 dans ]-π; π] puis placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique.
EXERCICE 42
Trigonométrie
Pour tout nombre réel ψ, On donne tan(ψ) = √2-1. 1- Montrer que tan(2ψ) = 2tan(ψ)/(1-tan²(ψ)) puis déduire la valeur exacte de (ψ). 2- Soit l'équation (E26) définie par : √2sin²(ψ)-(√2-2) Cos²(ψ) = 2cos(ψ)sin(ψ) dans]-π;π]. a- Résoudre dans ]-π; π] (E26) ] puis placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique (Unité=3cm). b- Donner la nature du quadrilatère obtenu calculer sa surface.
EXERCICE 43
Trigonométrie
1- Résoudre dans IR les systèmes suivants : a) {x+y=π/3; sinx + siny = 1/2; Cos2x = Cosy} b) {2x-y=π/4; tanx + tany = -2} c) {x+y=π/3; tanxtany = -1; x-2y = π/4} d) {x+y=π/3; Cosx/Cosy = 2; sin(2x-y) = 0; Cos(x-2y) = 0}. 2- En remarquant que : π/12 = 7π/12 - π/2 = π/4. a- montrer que: Cos(π/12) = (√2+√6)/4 et: Cos(7π/12) = (√2-√6)/4. 3- On se propose de résoudre l'équation suivante : (E): {sin(z) = sin(z) + Cos(z) - 1/2; y=z-π/4}. a- Montrer que (E) est équivalent a (E'): 2Cos²(y) + 2Cos(y) - 1/2 = 0. b- Résoudre (E') puis déduire les solutions de (E).
EXERCICE 44
Équations et inéquations
Résoudre dans l'intervalle I les inéquations suivantes : a) 2sinx ≥ √3; I = ]-π; π]. b) 2sinx ≤ -1; I = [0; 2π]. c) tanx ≤ 1; I = ]0; 2π]. d) {2sinx + 1 ≥ 0; 2sinx = √2}; I = ]0; 2π]. e) {2sin2x < √3; 2cos2x ≥ 1}; I = IR. f) {2sin2x < √3; 2cos2x ≥ 1}; I = [0; 2π]. g) {2sinx-√3 > 0; 1-2Cosx < 0}; I = ]-π; π]. h) {2Cos2x-1 < 0; 1+2cos2x < 0}; I = [0; 2π].
EXERCICE 45
Trigonométrie
1. Déterminer la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure est 303π/8. 2. ∀x ∈ R, démontrer que cos3x = (cos³x+3cosx). 3. a. Déterminer les valeurs exactes de cos(7π/12) et sin(7π/12) en remarquant que 7π/12 = π/4 + π/3. b. En déduire cos²(7π/24) = (4+√2-√6)/8 et Sin²(7π/24) = (4-√2+√6)/8. c. Déterminer en justifiant, les valeurs exactes de cos(7π/24) et sin(7π/24). d. Résoudre dans [0, 2π[l'équation (4+√2-√6)/8 Cos x + (4-√2+√6)/8 sin x = √2/2 et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. 4. Résoudre dans]-π, π]×]-π, π] le système {2 cos x + 2 sin y = 1 + √2; cosx - sin y = (1-√2)/2}.
EXERCICE 46
Polynômes
On considère le polynôme Π définie par : Π(x) = 4x³ - 2(√3+1 -√2)x² + (√3-√2-√6)x + √2/2. 1. Montrer que x = √2/2 est racine de Π. 2. Déterminer les réels p et q tels que : Π(x) = (x-√2/2)(4x²-px+q). 3. On suppose à la suite que : Π(x) = x² - (x1+x2)x + x1x2. 4. Résoudre l'équation Q (x) = 0. 4b) Résoudre alors l'équation : Π (x) = 0. 5. Déduire la résolution de l'équation 4 sin³ φ – 2(√3 + 1 - √2) sin² φ + (√3-√2 - √6) sinφ + √2/2 = 0.
EXERCICE 47
Équations et inéquations
Résoudre dans IR chacune des équations à : (1) cos x – sin x = √2; (2) Cos 2x – √3 Sin 2x = 1 - 0; (3) cos 2x + √3 sinx = √2; (4) 2cos²x – 5cos x – 1; (5) √3 sin x + cos x = -1; (6) √3 sin x + 3cos x = 1; (7) sin x – √3 cos x = – √2; (8) 3 cos 5x – 4 sin 5x = 3; (9) -6sin²2x – 4sin 5x = 2; (10) sin²3x – cos²x = 0; (11) cos 4x + sin²2x – 2 = 0; (12) cos(x+π/3) – sinx = 1; (13) sinx = sin(π/3);
EXERCICE 5
Trigonométrie
On considère l'équation (E): [4cos² (η) – 2√6Cos(n) + 1][2√3Cos(2n) – √3cos(η) + 3.sin(n)] = 0. dans IR 1- Vérifier que: Cos(π/12) = (√2+√6)/4 est solution de (E0): 4y² – 2√6y + 1 = 0, puis déduire l'autre solution. 2- Déduire la résolution dans IR de l'équation (E0): 4Cos² (η) – 2√6 cos(n) – 3 = 0. 3- Montrer que √3cos(n) – 3 sin(n) = pcos(η + φ); (p; φ) ∈ IR2. 4- Déduire la résolution dans IR de l'équation (E1): 2√3Cos(2η) – √3Cos(n) + 3 sin(n) = 0 5- Déduire les solutions dans IR de l'équation (E).
EXERCICE 6
Trigonométrie
On suppose que x ∈ [0; π/2], cos(π/8) = (√2+√2)/2; cos(7π/8) = (√2-√2)/2 et que π/8 = 2 x π/16. 1- Démontrer que : 2 cos(π/16) = 1 + sin(π/8). 2- Calculer la valeur exacte de cos²(π/16) et sin²(π/16) et déduire cos(π/16) et sin(π/16). 3- Soit G = bar {(A, 2+√2 + √2cos(x)); (B, √2-√2 + √2sin(x)); (C, -√2-√2)} et on pose A(x)= √2 + √2 + √2cos(x) + √2-√2 + √2 sin(x) a- Déterminer (λ, φ) ∈ IR tels que A(x) = λ cos(x + φ). b- Résoudre dans[-π; π] l'équation A(x) - √2-√2 = 0. c- Déterminer la valeur de x pour lequel G existe. 4- Pour x = π/16 montrer que G = bar {(A, 2 + √2 + √2); (B, 2-√2 + √2); (C, -2√2-√2)}.
EXERCICE 7
Trigonométrie
Pour tout nombre réel w 1- On donne K(η) = (√2 + 1) cos² (η) + (√2 – 1) sin² (2η) + 2 sin(η) cos (η) – √2 a- Montrer que K(η) = sin(3η) + cos(3η). b- Déduire que ∀ η ∈ IR, K(η) = √2 cos(3η – π/4). 2- Résoudre dans]–π; π] l’équation (E): sin(3η) + cos(3η) = 1. a- Représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. b- Calculer le périmètre polygone obtenu.
EXERCICE 8
Trigonométrie
1- On pose A(y) = cos⁴(y) - sin⁴(y) et B(y) = sin(5y)/sin(y) - cos(5y)/cos(y). a- Montrer que A(y) = cos(2y) et que B(y) = 4cos(2y). b- Résoudre l'équation B(y) - 3A(y) + sin(2y) = √3 dans [-π/2; 3π/2]. 2- Démontrer que tan(2θ) = 2tan(θ) / (1-tan²(θ)). a- En remarquant que π/8 = π/2 - 3π/8 Calculer tan(π/8). b- Résoudre l'équation (S): { x² + y² = 1; x = √2 - 1}. c- Déduire que cos(π/8) = √2+√2 / 2 et que sin(π/8) = √2-√2 / 2. 3- Résoudre dans IR L'équation (ψ): √2-√2cos(x) + √2+√2sin(x) = √2.
EXERCICE 9
Trigonométrie
1. On suppose que x ∈ [0; π/2], cos(π/8) = (√2+√2)/2; cos(7π/8) = (√2-√2)/2 et que π/16 = 2 x π/16. a- Démontrer que : 2 cos(α) = 1 + sin(2α). b- Calculer la valeur exacte de cos²(π/16) et sin²(π/16) et déduire cos(π/16) et sin(π/16).
PROBLÈME 1
Trigonométrie
Mr. KAKA est un Ingénieur Topographe qui veut mesurer la hauteur d’une colline pour cela, Il dispose un théodolite (instrument qui de mesure d’un angle). Il effectue deux mesures entre deux points R et N tels que NR = 10m (voir fig. 10). TÂCHE 1: Montrer que la hauteur de la colline est donnée par la formule h = L x tan(ω)tan(φ) / (tan(ω) - tan(φ)). Application numérique : ω = π/6 et φ = π/3. TÂCHE 2: Déduire la hauteur de la colline.
PROBLÈME 2
Trigonométrie
Après le passé de M. MAXWELL, son fils KAKA décide absolument d’aturer le terrain d’héritage pour sécuriser. Pour cela doit acheter du fil barbelé pour la clôture de ce terrain, sachant que 5 mètres de fil barbelé coûte 10 000 FCFA ce terrain a une forme de polygone dont les sommets sont des images des solutions de l’équation (cos(6x) = 1) dans ]–π; π] Sur le cercle trigonométrique, l’unité est égale à 5m. TÂCHE 1: Combien dépensera M. KAKA la clôture du terrain de son terrain?
PROBLÈME 3
Trigonométrie
M. Maxwell dispose un terrain I: à la forme d'un carré dont les sommets sont les solutions dans ]–π; π] de l’équation 2cos²(x) – 1 = 0. Il souhaite défricher son terrain le mètre-carré de défrichage est estimé à 2000F. Dans sa maison, M.KAKA voudras clôturer à l’aide d’un fil barbelé de trois rangs l’espace pour l’élevage des dindons. Cette espace est l’ensemble délimité par les points M vérifiant la relation ((x = 5 + 100sin(t); t ∈ IR), (y = 43 – 100sin(t))). IR l’unité est le mètre et sachant le fil barbelé coûte 1000FCFA le mètre. S’agissant de sa piscine, elle a une forme circulaire de rayon 5m. Le technicien requis pour la tâche lui propose une décoration sur le sol ayant la forme d’un polygone dont les sommets sont situés sur cette portion circulaire et sont images des solutions dans ]0;2π[ de l’équation (E): – 4sin²x + 2(√3 – √2) cos x + 4 – √6 = 0. on donne le mètre carré coûte 395FCFA. TÂCHE 1: Déterminer le budget nécessaire pour la décoration du sol de la piscine. TÂCHE 2: Donner une estimation du coût de défrichage pour ce terrain.
PROBLÈME 4
Trigonométrie
Mr. KAKA Dairou propose à sa femme de lui construire un jardin rectangulaire ABCD, son périmètre est 2m. Soit x la mesure de l’angle (AOB), tel que O est le centre du rectangle. TÂCHE 1 : Déterminer x tel que l’aire du jardin soit maximale. TÂCHE 2 : Quelle sera l’aire maximale de ce jardin.
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