Olympiades de Mathématiques 2026 · Niveau : TLeC/TLeF · Region de L’adamaoua
Préparation du PDF…
Quiz Flash
Testez vos connaissances avec un quiz généré par IA basé sur cette épreuve.
Connexion requise
Connectez-vous pour lancer les quiz Flash IA et garder votre progression.
Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
Créez un compte gratuit puis passez en Premium pour débloquer la méthode guidée et le corrigé de chaque exercice.
Exercice 1
Arithmétique
1. Il est 17 heures 15 minutes sur l'horloge. Quelle heure sera-t-il dans 2025^2026 heures ? 2. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Montrer que p² – 1 est divisible par 24. 3. Calculer, pour tout n appartient à N* et pour tout x appartient à R, la somme : Sn(x) = Somme de k=1 à n-1 de (k * e^(kx))
Exercice 2
Fonctions
I- L'objectif de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions f: R -> R telles que pour tout (x; y) appartient à R², f(x − f(y)) = 2 – x – y. 1. On suppose que la fonction f: R -> R vérifie cette propriété. a) Prouver que f(0) = 1. b) En déduire que pour tout x appartient à R, f (x − 1) = 2 − x. c) En déduire une expression de f(x), pour tout réel x. 2. Conclure. II- Déterminer les primitives sur [0; π[ de la fonction f: x -> (1-cos x) / (1+cos x)
Exercice 3
Équations et inéquations
On considère le polynôme P défini par : P(x) = Somme de i=1 à n de (xi*x − yi)². 1. Vérifier que P(x) = (Somme de i=1 à n de xi²) x² - 2 (Somme de i=1 à n de xiyi) x + (Somme de i=1 à n de yi²) 2. En déduire l'inégalité |Somme de i=1 à n de xiyi| <= √(Somme de i=1 à n de xi²) * √(Somme de i=1 à n de yi²) 3. Démontrer que pour tous réels x1, x2, ..., xn et y1, y2, …, yn, on a : √(Somme de i=1 à n de (xi + yi)²) <= √(Somme de i=1 à n de xi²) + √(Somme de i=1 à n de yi²)
Exercice 4
Nombres complexes
Soit n >= 3 un entier. On note z0, z1, …, zn−1 les affixes des sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité du plan complexe, avec zk = e^(i*2kπ/n) pour k appartient à {0,1,2, ..., n – 1}. Soit A le point d'affixe a = 2. Démontrer que le produit des distances du point A aux sommets du polygone est égal à 2^n - 1. : Produit de k=0 à n-1 de |a – zk| = 2^n – 1
Exercice 5
Logarithme et exponentielle
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par : f(x) = ln x / x 1. Étudier les variations de f et montrer qu'elle admet un maximum global en e. 2. En déduire que pour tous réels a, b > 0 tels que a non égal à b, on a l'inégalité suivante : a^b < b^a pour e < a < b. 3. Application : Laquelle des deux puissances est la plus grande : π^e et e^π ?
Note ma copiePremium
Photographiez votre copie et recevez une correction détaillée avec une note sur 20. Jusqu’à 5 copies par jour.
Connexion requise
Connectez-vous pour envoyer une copie et recevoir une correction IA détaillée.