Mathématiques · Lycée de Mofole · Seq2 · Tlec · 2022/2023
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (7)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Arithmétique
1. Soit le polynôme P(z) = z^3 – (1 – i)z^2 + z – 1 + i, z in C. (a) Montre que P(z) admet deux racines imaginaires pures que tu détermineras. 0,75pt (b) Résoudre alors dans C l'équation P(z) = 0. 0,5pt (c) Le plan est muni du repère (O, vecteur u, vecteur v). On note A, B et C les points d'affixes respectifs a = −i, b = i et c = 1 − i. Soient les points D et E d'affixes d et e. i. Faire une figure, que tu complèteras au fur et à mesure. 0,25pt ii. C est l'image du point D par la translation de vecteur AB. Détermine d. 0,5pt iii. E est l'image de D par la rotation de centre O et d'angle pi/2. Trouve e. 0,5pt 2. On veut que tu détermine les couples (n, m) d'entiers naturels non nuls vérifiant l'équation (E) suivante; (E) : 7^n - 3 x 2^m = 1. (a) On suppose m <= 4. Montre qu'il y'a exactement deux couples solutions de (E).0,5pt (b) On suppose maintenant que m >= 5. i. Montrer que si (n, m) vérifie l'égalité (E), alors 7^n = 1[32]. 0,5pt ii. Étudies les restes de la division par 32 des puissances de 7. 0,75pt iii. Déduire que si (n, m) vérifie l'égalité (E), alors 4 divise n. 0,5pt iv. En déduire que si (n, m) est solution de (E), alors 7^n = 1[5]. 0,5pt v. Pour m >= 1, existe-il des couples (n, m) solutions de (E). 0,25pt (c) Déduire alors, l'ensemble des couples (n,m) solution de (E). 0,25pt
6 ptsExercice 2
Vecteurs
Soit (i, j, k) une base d'un espace vectoriel E. Soit f un endomorphisme de E. Pour tout réel lambda, on considère l'ensemble E_lambda = {u in E; f(u) = lambda u}. 1. (a) Démontre que E_lambda est un sous espace vectoriel de E. 0,5pt (b) On suppose que f o f = 2f ; montre que u in Im(f) <-> u in E2. 0,75pt 2. On suppose ici que : f(i + j) = 2i + 2j, f(j - k) = 2j - 2k ; et f(i + k) = k. (a) Démontre que : f(i) = 2i, f(j) = 2j et f(k) = 2i + 2j. 0,75pt (b) Détermine la matrice M de f dans la base (i, j, k). 0,25pt (c) Montre que f o f = 2f. Compléter : Im(f) = ... 0,5pt (d) Détermine par une de ses bases, le noyau Ker(f) de f ; et déduire Im(f). 0,75pt
3.5 ptsExercice 3
Statistiques
On donne la série statistique suivante : xi | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2 yi | 13 | 12 | 14 | 16 | a où a est un entier naturel non nul. Par la méthode des moindres carrées, on a obtenu l'équation de la droite de régression de y en x, à savoir (D) : y = 9x + 0,6. 1. Compléte par les expressions : xbarre, COV(X,Y); V(X); ybarre et xbarre le petit texte suivant : L'équation de la droite de régression de y en x est donnée par y = ax + b avec : a = ............. et b = ybarre - a(xbarre). 0,75pt 2. Détermine V(X) et déduire COV(X, Y) à partir de la droite (D). 0,5pt 3. Déduire X et exprime Y en fonction de a. 0,75pt 4. En utlisant la question précédente montre que a = 20. 0,5pt
2.5 ptsExercice 4
Fonctions
Soit f la fonction f : x |-> (x-2) / sqrt(x+1) ; on note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, I, J). Df son ensemble de définition. 1. Montre que Df = ]-oo; -1[ U [2; +oo[; et étudies les branches infinies à (C). 0,75pt 2. Étudie la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition. 0,75pt 3. En déduire que (C) admet une demi-tangente parallèle à l'axe (OJ). 0,25pt 4. Étudies les variations de f et dresse son tableau de variation. 1,25pt 5. Montre que la restriction de f à ] -oo; -1[ notée h est une bijection et trouve h^-1. 0,5pt
3.5 ptsTache 1
Statistiques
L'évolution du chiffre d'affaire(en centaines de millions de Frs) de l'entreprise de Mr Bouba dénomé SOTRA en fonction du numéro de l'année est regroupée dans le tableau ci-dessous : Années | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 Numéro année | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 Chiffre d'affaire | 3,5 | 4,8 | 4,3 | 5 | 5,6 | 6,2 Mr Bouba désire prévoir son chiffre d'affaire pour les années avenir. Pour ce faire il contacte un technicien de la chose qui dit qu'il procèdera par la méthode de Mayer pour trouver un ajustement linéaire. Tache 1 : Donne une estimation du chiffre d'affaire de cette entreprise en 2035.
1.5 ptsTache 2
Arithmétique
À l'heure de pause un lundi, il y'a cambriolage à SOTRA. À la suite du vol, on interroge 4 témoins qui ont vu les bandits s'enfuir en voiture. Le premier dit que le numéro d'immatriculation comporte 4 chiffres. Le deuxième, que les deux premiers chiffres sont identiques. Le troisième que les deux derniers chiffres sont identiques. Le quatrième un élève en classe de terminale C a remarqué que le nombre en question est un carré parfait et que son chiffre des dizaines est compris entre 1 et 5 il dit en plus un nombre dont les deux derniers chiffres sont impairs n'est jamais un carré parfait. Tache 2 : Quel est le numéro d'immatriculation du véhicule des bandits.
1.5 ptsTache 3
Nombres complexes
Après ce vol, Mr Bouba décide de mieux protéger SOTRA. Il décide alors d'acheter des fils électriques, pour installer le long de SOTRA qui a la forme d'une figure pos- sédant 4 côtés, tel que les sommets de cette figure sont les points images solutions de l'équation (E) : z^4 + 2z^3 + 2z^2 – 2z + 1 = 0 (notre élève de terminale C affirme que pour résoudre (E), on pourra déterminer deux réels a et b tels que : (E) <-> z^2 [(z - 1/z)^2 + a(z – 1/z) + b] = 0). Tache 3 : combien Mr Bouba dépensera pour l'achat de fils électrique.
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