Mathématiques · Td les Nombres Complexes · Terminale C/D/TI
Préparation du PDF…
Quiz Flash
Testez vos connaissances avec un quiz généré par IA basé sur cette épreuve.
Connexion requise
Connectez-vous pour lancer les quiz Flash IA et garder votre progression.
Exercices, méthodes & corrigés (13)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
Créez un compte gratuit puis passez en Premium pour débloquer la méthode guidée et le corrigé de chaque exercice.
Exercice 1 - Partie A
Nombres complexes
A- Dans cet exercice, C désigne l'ensemble des nombres complexes et Re(z) la partie réelle du complexe z. On note P(z) = z³ – (6 + 5i)z² + (3 + 20i)z + 10 – 15i. 1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe w = −2i. 2. Résoudre dans C l'équation : z² – (3 + 3i)z + 5i = 0. 3. (a) Montrer que : 3 + 2i est racine de P(z). Déterminer les réels a, b et c tels que P(z) = (az² + bz + c)(z – (3 + 2i)) (b) Déduire dans l'ensemble C, les solutions de l'équation (E) : z³ – (6 + 5i)z² + (3 + 20i)z + 10 – 15i = 0. On notera z1, z2, z3 les trois solutions de (E) telles que: Re(z1) < Re(z2) < Re(z3)
Exercice 1 - Partie B
Nombres complexes
B- Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O; u, v). On considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1 + i√3, zB = −1 − i et zC = (2 + √3) + i. 1. Calculer les distances AB, BC et AC. Quelle est la nature du triangle ABC? 2. a. Ecrire zA/zB et sous formes trigonométriques. b. Ecrire zA/zB sous forme algébrique. c. En déduire les valeurs exactes de cos (π/12) et sin (π/12).
Exercice 1 - Partie C
Nombres complexes
C- Le plan complexe est muni du repère orthonormé (O; u, v). On considère pour tout complexe z = x + iy différent de 1, avec x et y réels, le nombre complexe Z tel que Z = (z + 2 - i)/(z - 1). On note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'. 1. Calculer z'. Donner une interprétation géométrique du résultat de ce calcul. 2. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et y. 3. Donner et construire l'ensemble des points M pour lesquels z' est un réel.
Exercice 2
Nombres complexes
1. P est un polynôme à variable complexe z défini par : P(z)=z³ + 3iz – 5 + 5i (a) Vérifier que le nombre complexe –1 – i est une racine de P. (b) Déterminer les complexes a et b tels que : P(z)=(z + 1 + i)(z² + az + b). (c) Resoudre dans C l'équation P(z)=0. 2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct On donne trois points A, B et C d'affixes respectives zA = −1 – i, zB = 2 − i et zC = −1 + 2i. (a) Déterminer l'ensemble D des points M d'affixes z tels que : |z − 2 + i| = |z + 1 – 2i|, puis vérifier que le point A appartient à D. (b) Déterminer un argument du nombre complexe (zB - zA)/(zC - zA), puis en déduire la mesure principale de l'angle orienté (AC, AB). (c) En déduire la nature exacte du triangle ABC. 3. On considère la similitude directe S de centre B qui transforme A en C. (a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude S. (b) Donner l'écriture complexe de S. (c) C est un cercle circonscrit au triangle ABC. Déterminer les caractéristiques de C' image de C par S.
Exercice 3
Nombres complexes
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O; u, v). 1. On considère l'équation (E) : z³ + (−4√3 + 8i)z² + (16 – 32√3i)z + 128i = 0 (a) Montrer que –8i est solution de (E). (b) Déterminer a et b tels que : z³ + (−4√3 + 8i)z² + (16 – 32√3i)z + 128i = (z + 8i)(z² + az + b). (c) Résoudre dans C l'équation(E). 2. Soient A,B et C les points d'affixes zA = 2√3 – 2i, zB = 2√3 + 2i et zC = −8i. Soit r la rotation de centre O et d'angle (2π/3) qui transforme C en un point D. Soit h l'homothétie de centre O qui transforme B en D. (a) Montrer que OAB est un triangle équilatéral. (b) Montrer que l'affixe du point D est zD = 4√3 + 4i. (c) Montrer que OAD est un triangle rectangle. (d) Déterminer l'écriture complexe de l'homothétie h. 3. Soit S la similitude directe de centre D qui transforme B en A. (a) Démontrer que l'écriture complexe de S est : z' = (1/2)(3 + √3i)z - 8i. (b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S. (c) Soit M(x,y) un point du plan et M0(x0,y0) son image par S. (i) Déterminer l'expression analytique de S. (ii) Déterminer l'image (D') par S de la droite (D) : y - 2x + 1 = 0.
Exercice 4
Nombres complexes
1. On considère l'équation (E) : z³ – 6z² + 12z – 16 = 0 où z est un nombre complexe. (a) Montrer que (E) admet une solution réelle z0. (b) Résoudre dans C l'équation (E). 2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O; u, v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives 4, 1 + i√3 et 1 - i√3. (a) Représenter A, B et C. (b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 3. Soit K le point d'affixe -√3 + i. F l'image de K par la rotation r de centre O et d'angle (π/3) et G l'image de K par la translation t de vecteur OB. (a) Déterminer les écritures complexes de la rotation r et de la translation t. (b) Quelles sont les affixes respectives de F et de G. (c) Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires. 4. Soit H le quatrième sommet du parallélogramme COFH. (a) Calculer l'affixe de H. (b) Montrer que COFH est un carré.
Exercice 5
Nombres complexes
1. On considère h la transformation du plan qui à tout M(x;y) associe le point M0(x0;y0) tel que : x' = x − y√3 + (3 - √3)/2 y' = x√3 + y + (3 - √3)/2 Soient z et z0 les affixes respectifs des points M et M0. (a) Écrire z0 en fonction de z. (b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de h. 2. Soit n ∈ N, on définit la suite (zn) par : z0 = (1/2) + i(√3 - 1)/2 zn+1 = (1 + i√3)zn Soit Mn le point d'affixe zn, on pose rn = |zn| et βn=Arg(zn) ainsi on a zn = rne^{iβn} (a) Écrire z0 et z1 sous forme exponentielle. (b) Déterminer les racines cubiques de z1.
Exercice 6 - Partie I
Nombres complexes
L'exercice comporte trois (03) parties I/, II/ et III/. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (O; u, v) d'unité graphique 1 cm. Soient A, B, C et D quatre points du plan complexe d'affixes respectives : zA = -1- i, zB = 2 – 4i, zC = 5 - i, et zD = 2 + 2i. I/ On considère dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (E) définie par : (E) : z³ + (−3 + 5i)z² – (4 + 8i)z + 12 – 4i = 0. 1. Montrer que l'équation (E) admet une solution réelle z0 que l'on déterminera. 2. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait : z³ + (−3 + 5i)z² – (4 + 8i)z + 12 – 4i = (z – z0)(z² + az + b) 3. (a) Vérifier que (3 – 3i)² = −18i. (b) Résoudre dans C l'équation (E). 4. (a) Calculer sous forme algébrique les rapports (zB - zA)/(zD - zA) et (zB - zC)/(zD - zC) (b) Déduire la nature exacte des triangles ABC et ADC. (c) Déduire que les points A, B, C et D sont cocycliques puis, déterminer le rayon et les coordonnées du centre du cercle (C) circonscrit au quadrilatère ABCD (On désignera par E son centre) (d) Placer les points A, B, C, D et E dans le plan puis, tracer le cercle (C).
Exercice 6 - Partie II
Transformations du plan
II/ Soit f la similitude directe qui laisse B invariant et qui transforme C en A. 1. (a) Déterminer le centre de la similitude f. (b) Déterminer l'argument principal et le rapport de la similitude f. 2. (a) Donner l'écriture complexe de la similitude f. (b) Déterminer les caractéristiques (centre et rayon) du cercle (C') image du cercle (C) de centre E d'affixe 2 – i et de rayon 3 par la similitude f. (c) Donner une équation cartésienne de la droite (D') image de la droite (D) : 2x - y = 1 par f.
Exercice 6 - Partie III
Nombres complexes
III/ Soit g la transformation du plan qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe Z tel que Z= (z+1)/(z+i). On considère les points G et H d'affixes respectives zG =-1 et zH = -i. 1. (a) Déterminer sous forme algébrique les racines carrées du nombre complexe 4 – 2i (b) En déduire l'ensemble des points invariants par g. 2. On pose z = x + iy. (a) Exprimer en fonction de x et y les parties réelles et imaginaires de Z. (b) Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan d'affixe z tel que Z soit réel. (c) Déterminer l'ensemble (D) des points M du plan d'affixe z tel que |Z|= 1.
Problème 1 (M. MOUAFFO)
Nombres complexes
M. MOUAFFO possède trois terrains dont il veut absolument clôturer car il lui set rapporté que des personnes mal intentionnées utilisent ces espaces non occupés à des mauvais fins. M. MOUAFFO décide donc d'acheter du fil barbelé pour clôturer ses trois terrains. Le rouleau de 5m de fil barbelé est vendu à 3500 frs. Le premier terrain : est formé de l'ensemble de tous les points M(x; y) du plan complexe vérifiant |2iz – 1 – 3i| = 8. Le second terrain quant à lui est de forme rectangulaire et dont les dimensions sont la partie réelle et la partie imaginaire solution de l'équation (1 + 4i)z + (3 – 4i)z_barre = 4 – 8i où z_barre est le conjugué de z. Le troisième terrain est formé de l'ensemble des points M d'affixe z du plan complexe tels que Re(z) = 0 avec Z = z/(z + 2i). NB: Les distances dans tous ces terrains sont exprimés en décamètre. 1. Quel est le montant à dépenser par M. MOUAFFO pour l'achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le premier terrain? 2. Quel est le montant à dépenser par M. MOUAFFO pour l'achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le deuxième terrain? 3. Quel est le montant à dépenser par M. MOUAFFO pour l'achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le troisième terrain?
Problème 2 (M. Roma)
Nombres complexes
M. Roma est copté par le P.C.O d'un événement sportif olympique pour réaliser les patrons des nouvelles aires de jeu de certains sports. — L'aire de jeu de basket est donnée par l'ensemble des nombres complexes d'affixes z privé de 1 tels que (z - 1 - 2i)/(z - 1) soit imaginaire pur. — L'aire de jeu de la course de résistance est donnée par l'ensemble des nombres complexes d'affixes z tels que z⁴ = −4. — L'aire de jeu du lancer de javelot est donnée par l'ensemble des nombres complexes d'affixes z tels que : (z − 1)(z² – (1 + 4i)z − 5 + 5i) = 0. Tâches : 1. Déterminer la nature exacte puis représenter dans un repère orthonormé (O; i, j) l'aire de jeu de basket. 2. Déterminer la nature exacte puis représenter dans un repère orthonormé (O; i, j) l'aire de jeu de la course de résistance. 3. Déterminer la nature exacte puis représenter dans un repère orthonormé (O; i, j) l' aire de jeu du lancer de javelot.
Problème 3 (Mme FOPA)
Nombres complexes
Mme FOPA veut clôturer son champ. Un expert en topographie lui conseil ceci : — Il faut prévoir une entrée délimitée par deux poteaux définis par deux points d'affixes respectives a et b, solutions de l'équation z² + (3 – 3i)z – 2 – 6i = 0 dans C — Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; u1, u2), construire la clôture suivant l'ensemble des points M du plan complexe d'affixe z tels que : a) arg ((z-a)/(z-b)) = (π/2) + kπ; b) arg ((z-a)/(z-b)) = (π/3) + 2kπ; c) |(z-a)/(z-b)| = 3/2 Tâches : 1. Déterminer et représenter la clôture et l'entrée prévue par le topographe en a). 2. Déterminer et représenter la clôture et l'entrée prévue par le topographe en b). 3. Déterminer et représenter la clôture et l'entrée prévue par le topographe en c).
Note ma copiePremium
Photographiez votre copie et recevez une correction détaillée avec une note sur 20. Jusqu’à 5 copies par jour.
Connexion requise
Connectez-vous pour envoyer une copie et recevoir une correction IA détaillée.