Mathématiques · Dres de L’ouest · Séquence 4 · Février 2026 · PD/TI
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Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Fonctions
Soit la fonction ƒ définie de R vers R par f(x) = (ax+b)/(cx+1) où a, b et c sont des nombres réels. (Cf) est la courbe de f dans un repère orthonormé (0,I,J) qui passe par A(2;2), B(−2 ; −2) et C (−8;0). 1) Déterminer les réels a, b et c. 2) On suppose dans toute la suite que f(x) = 1/2 + 15/(4x+2) a) Justifier que l'ensemble de définition de f est Df = ]-∞; -1/2[ U ]-1/2; +∞[. b) Calculer les limites de f aux bornes de Df. c) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. d) Démontrer que le point Ω (-1/2; 1/2) est centre de symétrie à la courbe (Cf). 3) Tracer (Cf) et ses asymptotes éventuelles dans le même repère orthonormé (0,I,J). 4) Construire dans le même repère que (Cf), la courbe (Cg) de la fonction g définie sur R par g(x) = f(|x|) ; puis résoudre graphiquement l'équation g(x) = m où m∈R.
5.25 ptsExercice 2
Dénombrement
I) Résoudre dans N l'équation An + 3Cn−2 + n = −20. II) Une urne contient 12 boules dont 4 boules rouges, 5 boules blanches et 3 boules bleues. On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne. 1) Quel est le nombre de tirages possibles ? 2) Déterminer le nombre de tirages dans chacun des cas suivants : a) Les boules tirées ont la même couleur. b) Les boules tirées présentent trois couleurs. c) Les boules tirées sont de couleurs différentes. d) Le tirage comporte au moins une boule bleue.
3.25 ptsExercice 3
Trigonométrie
Pour chacune des questions ci-dessous, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste. Recopier le numéro de la question suivi de la lettre qui correspond à la bonne réponse. Aucun calcul n'est demandé sur votre feuille de composition. 1) Si x ∈ [pi/2 ; pi] tel que cos(2x) = √2/2, alors la valeur exacte de sin x est égale à : a) √(2+√2)/2 ; b) √(2-√2)/2 ; c) (2-√2)/2 ; d) (2+√2)/2 2) Un sac contient 4 jetons rouges et 2n jetons noirs (n ∈ N*). On tire successivement et sans remise trois jetons de ce sac. La valeur de n pour laquelle le nombre de tirages contenant exactement un jeton rouge donne 1584 est : a) n = 3 ; b) n = 6 ; c) n = 5 ; d) n = 4. 3) Soit ABCD un carré de centre O et de sens direct. On note r1 le quart de tour direct de centre A et r2 la rotation de centre A et d'angle -pi/4. La composée r1 o r2 est : a) La symétrie centrale de centre O; b) la rotation de centre A et d'angle pi/2; c) la rotation de centre A et d'angle pi/4; d) une homothétie. 4) Soit l'application f du plan dans lui-même qui à tout point M du plan, associe le point M' tel que MM' = 3MA - 3MB + 3MC et G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B,−1) et (C, 1). a) f est une homothétie de centre G et de rapport -2 ; b) f est une translation de vecteur 3AG; c) f est une homothétie de centre G et de rapport -1/2; d) f est une homothétie de centre G et de rapport 2.
3 ptsExercice 4
Trigonométrie
Soient θ∈ R, ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm et de sens direct. On note I le milieu du segment [AB]. 1. a) Vérifier que Sin^2θ = (1-Cos2θ)/2 b) En déduire la résolution dans R de l'équation (E) : Sin^2θ – Cos2θ + (3√2-2)/4 = 0. 2. Déterminer les valeurs de θ pour lesquelles le point G est barycentre des points pondérés (A,Sin^2θ); (B, −Cos2θ) et (C, 2). 3. On suppose dans la suite que θ = -pi/2 et on note J et K les milieux respectifs de [BC] et [AC]. a) Justifier que les points I, G et C sont alignés. b) Déterminer la nature et l'élément caractéristique de la transformation S(BC) o S(IK). c) Déterminer et construire l'ensemble (Γ) des points M du plan tel que MI^2 + MC^2 = 14.
3.5 ptsPartie B
Dérivation
Situation : Monsieur TELLA est un fermier qui a deux poulaillers de forme rectangulaire le long de certains murs de ses deux maisons. (Voir les figures ci-dessous). • Le poulailler 1 a une superficie de 392 m², t est la distance séparant chaque piquet au mur et b la distance entre les deux piquets A et B avec t ∈ [5;40]. • Le poulailler 2 dispose de 80 m de grillage, a est la distance séparant chaque piquet au mur et z la distance entre les deux piquets C et D avec z ∈ [0;50]. Dans ses livraisons de poulets, Monsieur TELLA parcourt avec son véhicule un trajet de 100 km. La vitesse moyenne de son véhicule est de x kilomètres par heure avec une consommation en gas-oil de (6 + 100/x^2) litres par heure. Le prix du litre de gas-oil est de 600 Frs CFA et son chauffeur est payé à 1800 frs CFA l'heure. Tâches 1) Pour quelle valeur de t la longueur de la clôture du poulailler 1 est-elle minimale ? 2) Pour quelle valeur de z l'aire du poulailler 2 est-elle maximale ? 3) Pour quelle valeur de x le coût du trajet est-il minimal ? Présentation : 0,5 pt
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