Mathématiques · Série : T. S. E
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Exercices, méthodes & corrigés (3)
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Exercice 1
Nombres complexes
I. Ecris sous forme exponentielle zo = (1+i√3)(sinx+icos x) / (2(1-i)(cosx-i sin x)). 0,75 pt II. Soit le complexe On considère le nombre complexe z = i – √3 1) Ecris sous formes trigonométrique et cartésienne les racines carrées de z. 1 pt 2) En déduis les valeurs exactes de cos(5π/12) et de sin(5π/12). 0,75 pts III. Soit l'équation (E): z⁴ – 2z³(cos a + sin a) + 2z²(1 + sin 2a) – 2z(cos a + sin a) + 1 = 0 où a ∈ R. 1) Déterminer deux nombres a et b tels que : (E) ⇔ z²[(z + 1/z)² + a(z + 1/z) + b] = 0. 0,75 pt 2) Résoudre dans C l'équation :Z² + aZ + b = 0 ; puis l'équation (E). 1,75 pt
5 ptsExercice 2
Nombres complexes
I. z étant un nombre complexe, on considère l'équation (E): z⁴ = −7 + 4i√2 1) Vérifier que u = √2 + i est une solution de (E). 0,75 pt 2) Déterminer sous forme algébrique toutes les solutions de (E). 1 pt II. On considère les complexes a = 1 − i ; b = 2 - i et c = 3 + i 1) Ecrire les complexes a³ ; (b/a)² et (ae^(iπ/3))⁵ sous forme trigonométrique. 1,75 pts 2) On pose S = (z-b)/(z-c) et on désigne par A; B; C et M les points images de a; b; c et z a) Interpréter géométriquement le module et un argument de S. 0,50 pt b) Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que |S| = 1. 0,50 pt
4.5 ptsProblème
Nombres complexes
I. On pose U = e^(iπ/7), S = U + U² + U⁴ et T = U³ + U⁵ + U⁶ 1) Calcule U⁷. 0,50 pt 2) Démontre que S et T sont conjugués, et que la partie imaginaire de S est positive. 1,75 pt 3) Calcule S + T et S.T. 1 pt 4) En déduis que :cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(8π/7) = -1/2 et sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(8π/7) = (√7)/2. 1,75 pt II. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O; e1;e2). On appelle f l'application qui à M d'affixe z ≠ 2 associe le point M' d'affixe z' telle que :z' = (z-1-i)/(z-2) Soit A; B et C les points d'affixes respectives a = 1 + i; b = 1 − i et c = 2 1) Détermine f(A) et f (B). 0,75 pt 2) Détermine le point D tel que :f (D) = C. 0,5 pt 3) Interprète géométriquement |z – 1 – i| et |z – 2|. 0,50 pt 4) En déduis que si le point M appartient à la médiatrice de [AC], M' = f(M) appartient au cercle (Γ) dont on précisera le centre et le rayon. 0,75 pt III. Pour tout nombre complexe z ≠ -1, on pose :g(z) = (iz-1)/((z+1)²) 1) Résoudre l'équation :y ∈ R, g(iy) = iy. 0,75 pt 2) Résoudre dans C l'équation (E) : g(z) = z 0,75 pt 3) On désigne par z0; z1 et z2 les solutions de (E) telles que :Re(z0) = 0 et Re(z1) > Re(z2) a) Vérifier que z1 + 1 = e^(i11π/7) et que z2 + 1 = e^(-iπ). 0,75 pt b) En déduire l'écriture trigonométrique de z1 et z2. 0.75 pt
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