Mathématiques · Lycée Bilingue de Bojongo · Tled · Ds n° 1 · 2022/2023
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Nombres complexes
On considère dans C, le polynôme P défini par : P(x) = 9z⁴ – 24z³ + 50z² – 24z + 41. 1. Montrer que si z₀ est une racine de P, alors z̅₀ est aussi une racine de P 2. Vérifier que i est une racine de P et en déduire l'autre racine de P. 3. Déterminer trois nombres complexes a, b et c tels que ∀z ∈ C P(z) = (z² + 1)(az² + bz + c) 4. Résoudre dans C l'équation P(z) = 0 5. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct (O; e_1; e_2) (unité graphique : 3cm). On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives zᴀ = −i ; zʙ = i; zᴄ = (4/3) + i et zᴅ = −(4/3)i a) Placer les points A, B, C et D b) Montrer que (zᴄ - zᴀ) / (zᴅ - zᴀ) ∈ iR et (zᴄ - zʙ) / (zᴅ - zʙ) ∈ iR où iR est l'ensemble des imaginaires purs. c) En déduire la nature exacte des triangles ACD et BCD d) Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon
6 ptsExercice 2
Nombres complexes
1. Soit z = 1 − i√3 un nombre complexe a) Mettre z sous la forme exponentielle b) En déduire la forme algébrique du nombre complexe z' = (1 − i√3)¹⁰ 2. On donne les nombres complexes suivants : z₁ = −1 + i√3 ; z₂ = -1 - i et z₃ = z₁/z₂ a) Déterminer les racines carrées de z₂ b) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z₁; z₂ et z₃ c) Ecrire z₃ sous la forme algébrique et sous la forme trigonométrique d) En déduire les valeurs exactes de cos(7π/12) et sin(7π/12) 3. a) Linéariser sin³(2x) b) Exprimer cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x)
6.5 ptsExercice 3
Nombres complexes
Soit z un nombre complexe distinct de i. Soit Z' un nombre complexe tel que Z' = (z+2-i)/(z-i) 1. On pose z = x + iy. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z' en fonction de x et y. 2. Déterminer l'ensemble (C) des points M(z) tel que Z' soit un réel 3. Déterminer l'ensemble (D) des points M(z) tel que |Z'| = 1
2.5 ptsPARTIE B
Nombres complexes
M KEMTA possède trois terrains dont il veut absolument clôturer car il lui est rapporté que des personnes mal intentionnées utilisent ces espaces non occupés à des mauvaises fins. M KEMTA décide donc d'acheter du fil barbelé pour clôturer ses trois terrains. Le rouleau de 5 mètres de fil barbelé est vendu à 3 500 frs. ➢ Le premier terrain est formé de l'ensemble des points M(x; y) du plan complexe vérifiant |2iz − 1 − 3i| = 10. ➢ Le second terrain quant à lui est de forme rectangulaire et dont les dimensions sont la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation (3 + 2i)z + (1 − 3i)z̅ = -54 + 27i avec z = x + iy et z̅ le conjugué de z. ➢ Le troisième terrain est forme de l'ensemble des points M d'affixe z du plan tels que Re(Z') = 0 avec Z' = (z+2i)/z NB : L'unité de longueur est de 10 mètres Tâches : 1. Quel est le montant à dépenser par M KEMTA pour l'achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le premier terrain ? 2. Quel est le montant à dépenser par M KEMTA pour l'achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le deuxième terrain ? 3. Quel est le montant à dépenser par M KEMTA pour l'achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le troisième terrain ?
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