Mathématiques · Lycée Classique D’edea · Séquence 2 · Tlec · Nov 2025 · Prof : T. N. Awono Messi
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Exercices, méthodes & corrigés (5)
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Exercice 1
Arithmétique
1. Soit a,b ∈ Z et n ≥ 2. Montre que si a = b[n], alors aⁿ = bⁿ [n²]. 2. Résous dans Z² l'équation 37x+54y = 3. 3. Démontre par récurrence que pour tout n∈ N, Aₙ = 9ⁿ⁺¹ + 2⁶ⁿ⁺¹ est divisible par 11. 4. Détermine tous les entiers relatifs x vérifiant 3x−2=0[5] et |x|<10. 5. Un nombre X s'écrit 121⁻⁴ en base 4 et 221ⁿ⁻* en base n, n ∈ N*. Détermine n. 6. Résous dans N × N le système : { PGCD(a;b) = 6 PPCM (a;b) = 240
3.75 ptsExercice 2
Nombres complexes
A) Soient n ∈ N et Bₙ = (1 + i/√3)ⁿ - (1 - i/√3)ⁿ. 1. Montre que Bₙ = (2ⁿ⁺¹ / (√3)ⁿ) sin (nπ/6). 2. Déduis-en Bₙ lorsque n est multiple de 6 puis, justifie que B₂₀₂₃ = -i (2²⁰²³/3²⁰²³/²). B) Soit θ un réel de l'intervalle ]0; π[ et Ω le point d'affixe ω = 3+3i. 1. Résous dans l'équation (E₁) : z² - 2zcosθ + 2(1+sinθ) = 0. 2. Écris le complexe z₁ = i + eⁱᶱ sous forme trigonométrique. 3. En prenant θ = π/6, écris z₁ sous forme algébrique puis montre que |z₁|² = 2 + √3. 4. Détermine l'ensemble (Γ) des points M d'affixe z tels que |(1+i)z−6i|= 2√2.
3.75 ptsExercice 3
Fonctions
Soit f la fonction définie sur [0;1] par f (x) = (1/2) cos (πx/2). 1. Étudie les variations de f et dresse son tableau de variations. 2. Montre que f réalise une bijection de [0;1] sur un intervalle J que tu préciseras. 3. Montre que f⁻¹ est dérivable sur I = [0; 1/2[ et que ∀x ∈ I, (f⁻¹)'(x) = 4/(π√1-4x²). 4. (a) Montre que pour tout x ∈ [0;1], on a : |f'(x)| ≤ π/4. (b) Montre que l'équation f (x) = x admet dans [0;1] une solution unique α. (c) Montre que pour tout x ∈ [0;1] , on a : |f(x) - α| ≤ (π/4)|x - α|. 5. Soit (Uₙ) la suite définie sur N par U₀ = 0,5 et Uₙ₊₁ = f (Uₙ) pour tout n ∈ N. (a) Montre par récurrence que pour tout n ∈ N, 0 ≤ Uₙ ≤ 1.
4.5 ptsExercice 4
Suites numériques
(b) Montre que pour tout n ∈ N, |Uₙ₊₁ - α| ≤ (π/4)|Uₙ - α|. (c) Déduis-en que pour tout n ∈ N, |Uₙ - α| ≤ (π/4)ⁿ puis, détermine alors lim Uₙ. n→+∞ Les suites d'entiers naturels (xₙ) et (yₙ) sont définies sur N par : { x₀ = 3 et xₙ₊₁ = 2xₙ - 1 y₀ = 1 et yₙ₊₁ = 2yₙ + 3 1. Démontre par récurrence que, pour tout n ∈ N, xₙ = 2ⁿ⁺¹ + 1. 2. Justifie à l'aide d'un théorème que xₙ et xₙ₊₁ sont premiers entre eux pour tout n ∈ N. 3. (a) Démontre que, pour tout n ∈ N, 2xₙ - yₙ = 5 puis exprime yₙ en fonction de n. (b) Étudie suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division de 2ᵖ par 5. 4. On pose dₙ = PGCD(xₙ;yₙ) pour tout n∈ N. Montre que dₙ = 1 ou dₙ = 5.
3 ptsProblème
Statistiques
PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES (5 points) SITUATION : Une boulangerie fabrique, conditionne et vend ses produits dans une grande localité. Le coût total journalier de production de x centaines de pains est donné par la fonction f définie sur I = [1;50] par f (x) = x³/12 - x²/15 + 194x/5 + 120 (en milliers de FCFA). Pour pouvoir réaliser un bénéfice, le boulanger doit minimiser le coût marginal (c'est-à dire f '(x)) de production journalier de ses pains. M. ATEBA, l'agent financier de cette boulangerie a mis en place le service de livraison de leurs produits dans la localité. Après quelques années d'activités, il cherche à déterminer lequel des facteurs N (nombre de boutiques où il livre leurs produits) ou X (frais de publicité) a influencé le plus leur chiffre d'affaires Y. Pour cela, il a dressé le relevé statistique des cinq dernières années qui est consigné dans le tableau suivant : Années 2020 2021 2022 2023 2024 Nombre de boutiques livrées n 10 20 40 70 100 Frais de publicité en millions X 1 1,7 1,9 2 2,5 Chiffre d'affaires en millions y 37,5 61,5 97,5 180 270,4 Le boutiquier ALI commande des pains et des gâteaux chaque jour pour 7000 FCFA. Le pain est livré à 130 FCFA l'unité et le gâteau à 90 FCFA. Il y a plus de pains que de gâteaux et on livre plus de 7 gâteaux chaque jour. ALI revend le pain à 125 FCFA l'unité et le gâteau à 150 FCFA l'unité et épargne tout le bénéfice obtenu pendant les 24 jours d'ouverture de sa boutique sur un mois, car il souhaite faire une tontine mensuelle de 35.000 FCFA. Tâches : 1. Quelle quantité de pains la boulangerie doit-elle produire par jour pour minimiser son coût marginal de production ? 2. Quelle est la variable qui influence le chiffre d'affaires de cette boulangerie ? 3. Le souhait du boutiquier ALI sera-t-il réalisé?
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