Mathématiques · Épreuve Zéro · Republique Gabonaise · Série : C · E 2021
Préparation du PDF…
Quiz Flash
Testez vos connaissances avec un quiz généré par IA basé sur cette épreuve.
Connexion requise
Connectez-vous pour lancer les quiz Flash IA et garder votre progression.
Exercices, méthodes & corrigés (3)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
Créez un compte gratuit puis passez en Premium pour débloquer la méthode guidée et le corrigé de chaque exercice.
Exercice 1
Arithmétique
Exercice 1. Suites - applications affines - arithmétique - coniques.. / 6 points Le plan complexe (P) est muni d'un repère orthonormé direct (O, u, v). Partie A Soit H l'ensemble des points M de coordonnées (x; y) vérifiants : y² = 2x² + 2x + 1 1. Reconnaître la nature exacte de H. On précisera également ces éléments caractéristiques. 2. Représenter H graphiquement. Partie B On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs x et x + 1, et dont l'hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypothénuse est un nombre entier. Si le triangle de côtés x, x + 1 et y, où y est la longeur de l'hypothénuse, est un TRPI, on dira que le couple (x; y) définit un TRPI. 1. a) Soit N un point du plan (P) dont les coordonnées (x; y) définit un TRPI. Montrer que N appartient à l'ensemble H. b) Réciproquement, montrer que si le couple d'entiers naturels (x; y) appartient à H alors le couple (x; y) définit un TRPI. 2. Soit un couple d'entiers naturels (x; y). a) Recopier et compléter le tableau suivant : x | 0 | 1 | 2 | 3 y² = 2x² + 2x + 1 | 1 | | | y ∈ N | vrai | | | b) En déduire que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3; 5). 3. a) Soit n un entier naturel. Montrer que n² et n ont la même parité. b) Montrer que dans un couple d'entiers (x; y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair. 4. Montrer que si le couple d'entiers naturels (x; y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux. Partie C Soit f l'application définie du plan (P) dans lui-même qui au point M(x; y) associe le point M'(x';y') tel que: x' = 3x + 2y + 1 y' = 4x + 3y + 2 1. Justifier que f est application affine. 2. a) Déterminer l'image de H' de H par f. b) En déduire que si un couple (x; y) définit un TRPI, alors le couple (x'; y') définit également un TRPI. 3. On considère les suites (xn)n∈N et (yn)n∈N définies par : x0 = 3 et y0 = 5 et pour tout entier naturel n : xn+1 = 3xn + 2yn + 1 yn+1 = 4xn + 3yn + 2 a) Justifier que pour tout entier naturel n, xn et yn sont des entiers naturels. b) Montrer que pour tout entier naturel n, le couple (xn; yn) définit un TRPI. 4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2021.
6 ptsExercice 2
Nombres complexes
Exercice 2. Nombres complexes et isométries du plan ../ 4 points Soit a un nombre réel. On considère l'application f du plan dans le plan qui au point d'affixe z associe z' = (1/2 - i(racine de 3)/2)z - i 1. Justifier que f est une isométrie qui ne conserve pas les angles orientés. 2. Déterminer f ° f. En déduire la nature de f. 3. Soit g la fonction x → (x² + x(racine de 3) + a(racine de 3)) / (x(racine de 3) + 3) et (C) sa courbe représentative. a) Déterminer l'expression analytique de f. b) Déterminer l'équation de l'image de (C) par f. En déduire la nature de (C).
4 ptsProblème
Note ma copiePremium
Photographiez votre copie et recevez une correction détaillée avec une note sur 20. Jusqu’à 5 copies par jour.
Connexion requise
Connectez-vous pour envoyer une copie et recevoir une correction IA détaillée.