Feuille de Travaux Diriges n° 5 · Groupe Agir Competent/ Copoly · Classe de 1ère C & TI · Espaces Vectoriels · Année Scolaire : 2021 2022 · Prof : T. N. Awono Messi
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Exercices, méthodes & corrigés (10)
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Exercice 1
Vecteurs
1. Soit E l'ensemble des vecteurs u(x, y) de R² tels que 3x + 2y = 0. (a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R². (b) Déterminer une base de E, puis donner la dimension de E. 2. On note F l'ensemble des vecteurs u(x, y, z) de R³ tels que 3x – 2y + z = 0. (a) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de R³. (b) Déterminer une base de F, puis donner la dimension de F.
Exercice 10
Vecteurs
E est un espace vectoriel de dimension 2, muni d'une base B = (i,j). On considère les vecteurs u = ai + bj et v = ci + dj où a, b, c et d sont des réels et on pose B' = (u,v). Démontrer que B' est une base de E si et seulement si det (u,v) ≠ 0.
Exercice 2
Vecteurs
1. On considère dans R² les vecteurs u (3; 6) et v (-1;-2). Montrer que le système (u,v) est lié. 2. Soit les vecteurs u (3;-2) et v (1; 2) de R². Montrer que (u,v) est une famille libre. 3. On considère dans R³ les vecteurs u (1;0;-1); v(-1;1;0) et w(2x;x²;−3) où x ∈ R. (a) Montrer que (u,v) est un système libre. (b) Déterminer les valeurs de x pour que la famille (u, v, w) soit lié.
Exercice 3
Vecteurs
1. L'ensemble H = {u(x, y, z) ∈ R³ / x + y − 2z = 4} est-il un sous-espace vectoriel de R³? 2. Soit E un espace vectoriel sur R; F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble F + G appelé somme de F et G par: F + G = {u ∈ E / ∃ (u₁, u₂) ∈ F × G : u = u₁ + u₂} (a) Démontrer que F + G est un sous-espace vectoriel de E. (b) Démontrer que F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 4
Vecteurs
On considère dans un plan vectoriel P, muni de la base B = (i,j), les vecteurs e₁ = 3i + 2 j et e₂ = i + j. 1. Prouver que (e₁,e₂) est une base de E. 2. Soit u (2;-1) un vecteur dans la base B = (i,j). Déterminer les coordonnées de u dans la base (e₁,e₂).
Exercice 5
Vecteurs
L'espace vectoriel R³ sur R est muni de sa base canonique (i,j,k). Soit E le sous-espace vectoriel de R³ engendré par les vecteurs e₁ = i-2 j + 2k et e₂ = 2i + j + 3k. 1. Démontrer que B = (e₁, e₂) est une base de E. Quelle est la dimension de E? 2. On considère le vecteur x = 3i + 3 j + 4k de R³. Démontrer que x ∈ E. 3. Quelles sont les coordonnées de x dans la base B?
Exercice 6
Vecteurs
Dans l'espace vectoriel R² sur R, on considère les vecteurs e₁ (1,0) et e₂ (0,1). 1. Démontrer que (e₁,e₂) est une base de R². 2. On considère les vecteurs suivants : u (-1,5) et v(2,-10). Le système {u,v} engendre-t-il l'espace vectoriel R²?
Exercice 7
Vecteurs
1. On considère dans le plan vectoriel P muni d'une base B = (i,j), les vecteurs u (2;4) et v(-1;-2). Montrer que les vecteurs u et v sont linéairement dépendants. 2. E est un espace vectoriel sur R, muni d'une base B = (i,j,k). On considère les vecteurs a (1;3; -2) et b (-5;1;4). Montrer que les vecteurs a et b sont linéairement indépendants.
Exercice 8
Vecteurs
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de R³ définis par : F = {(x, y, z) ∈ R³ / x - y - z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R³ / y = z = 0}. 1. Déterminer F ∩ G. 2. Montrer que F + G = R³. Qu'en conclure?
Exercice 9
Vecteurs
1. Soit les ensembles F₁ = {(x, y) ∈ R² / x + y = 2} et F₂ = {(x, y) ∈ R² / x = 0 ou y = 0} Justifier que les ensembles F₁ et F₂ ne sont pas des sous-espaces vectoriels de R². 2. L(E) est l'ensemble des endomorphismes définis de E vers E. On désigne par F l'ensemble des endomorphismes de l'espace vectoriel E de la forme g = af + bId_E où a et b sont des réels et Id_E l'application identique de E. (a) Montrer que (F, +,x) est un sous-espace vectoriel de L(E). (b) Montrer que (Id_E, f) est une base de F.
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