Mathématiques · Lycée Bilingue de Mbalngong · Classe Tc · Devoir Surveillé 4/Trimestre : 2 · A/S : 2020 2021
Préparation du PDF…
Quiz Flash
Testez vos connaissances avec un quiz généré par IA basé sur cette épreuve.
Connexion requise
Connectez-vous pour lancer les quiz Flash IA et garder votre progression.
Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
Créez un compte gratuit puis passez en Premium pour débloquer la méthode guidée et le corrigé de chaque exercice.
Exercice 1
Nombres complexes
Le plan étant direct, on considère un carré direct ABCD. E est le milieu de [CD], F et G sont des points tels que DEFG est aussi un carré direct. 1) Faire la figure 2) Soit S la similitude directe de centre D qui transforme A en B. Donner le rapport et l'angle de S. 3) Déterminer S(E) 4) Soit (C) le cercle circonscrit à ABCD et I le point d'intersection des droites (AE) et (BF). a) Calculer Mes(EA; EB) et en déduire que I ∈ (C) b) Monter que les droites (IB) et (ID) sont orthogonales 5) On suppose le plan rapporté au repère orthonormé (A; vect(AB) vect(AD)) et AB = 4 a) Donner l'écriture complexe de S b) Donner l'expression analytique de S On pose i = vect(AB)/|vect(AB)| ; j = vect(AD)/|vect(AD)|. Soit u = i + j et v = i − j c) Montrer que (u; v) est une base d) Soit φ l'application linéaire associée à S.Déterminer Kerφ et Imp e) Donner la matrice de φ^-1 dans la base (u; v)
5 ptsExercice 2
Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (O, u, v). Soit n un entier naturel, on définit la suite des points An d'affixe zn tel que zo = 0(origine du repère) zn+1 = (1/(1+i))zn+i 1) Montrer que la suite An+1 est l'image de An par une similitude S dont on donnera l'affixe du centre Ω, l'angle et le rapport 2) Construire A1, A2, A3, A4 et A5 3) Établir que le triangle AnAn+1 est rectangle en An+1 On pose Dk = AkAk+1. a) Calculer Sn = D0 + D1 + … + Dn-1 b) Déterminer lim Sn quand n tend vers +∞
3.25 ptsExercice 3
Géométrie dans l'espace
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (O, e1, e2, e3). On considère les points A(2,3,0); B(0, −1,2); C(−1,2,4) et D(3,0, -2). 1) Justifier que A, B et C sont non alignés et calculer l'aire du triangle ABC. 2) Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires et déterminer les coordonnées de I point de rencontre des droites (AB)et (CD). 3) a) Démontrer que pour tout point M de l'espace l'on a : vect(MA)^vect(MB) + vect(MD)^vect(MC) = vect(MI) ^ (vect(AB) + vect(DC)) b) En déduire le lieu (Δ) des points M de l'espace tels que vect(MA)^vect(MB) = vect(MC)^vect(MD). 4) (S) est la sphère d'équation cartésienne : x^2 + y^2 + z^2 – 2y + 2z – 41 = 0. a) Déterminer le centre et le rayon de (S). b) Étudier (S) ∩ (Δ).
3.5 ptsExercice 4
Fonctions
f est la fonction définie sur l'intervalle I = [0; π/2[ par f(x) = 2sinx + tanx – 3x de courbe représentative (Cf). 1) Justifier que f est dérivable sur l'intervalle I et que ∀x ∈ I, f'(x) = (2cos^3 x-3cos^2 x+1)/cos^2 x 2) a) Démontrer que la fonction u: t → 2t^3 – 3t^2 + 1 est positive sur l'intervalle [0; 1] et en déduire le sens de variations de f sur l'intervalle I. b) Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle I. c) Montrer que l'équation f(x) = 3 admet une unique solution β ∈ I d) Étudier la parité de f et tracer (Cf) sur [-π/2; π/2] 3) a) Montrer que ∀x ∈ I, 2sinx + tanx ≥ 3x. b) En déduire de ce qui précède que pour tout réel u de l'intervalle I, ln(1/cosu) - (1/2)u^2 ≥ 0
3.75 ptsPARTIE B
Géométrie dans l'espace
SITUATION Un laboratoire souhaite à l'aide des sous-marins déposer une nouvelle espèce de poissons clonés au fond de la mer. Pour le transport de ces espèces, le laboratoire réquisitionne deux sous-marins qui en plongée se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante. Le laboratoire dispose plus de 10 poissons. Si on les répartit dans les aquariums contenant 20 poissons ou des aquariums qui en contiennent 25, il en reste toujours 7. À chaque instant t, exprimé en minutes, le premier sous-marin Blu-NSA est repéré par le point S1(t) et le second sous-marin β-NSA est repéré par le point S2(t) dans un repère orthonormé (O, i, j, k) dont l'unité est le mètre. Le plan défini par (O,i,j) représente la surface de la mère. La cote z est nulle au niveau de la mer et négative sous l'eau. On admet que pour tout réel t > 0, le point S1(t) a pour coordonnées S1(x(t);y(t)); z(t)) avec x(t) = 140 – 60t ; y(t) = 105 – 90t et z(t) = –170 – 30t. Au début de l'observation, le sous-marin β-NSA est situé au point S2(0) de coordonnées (68; 135; –68) et atteint au bout de trois minutes le point S2(3) de coordonnées (–202; –405; –248). TACHES : Tache 1: Déterminer la vitesse en km/h de Blu-NSA une heure après sa plongée. Tache 2: Quel est le nombre minimal de poissons clonés dans ce laboratoire ? Tache 3: À quel instant t, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur pour le dépôt des poissons ? les deux sous-marins se rencontrent-ils justifier ?
4.5 ptsNote ma copiePremium
Photographiez votre copie et recevez une correction détaillée avec une note sur 20. Jusqu’à 5 copies par jour.
Connexion requise
Connectez-vous pour envoyer une copie et recevoir une correction IA détaillée.