Travaux Dirigés · Les Nombres complexes(Partie 2) · Terminale C D,E,TI · Prof : Atmani Najib
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Exercices, méthodes & corrigés (22)
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Exercice 1
Nombres complexes
Donner la forme exponentielle des complexes suivants : 1) z₁ = 2+2i 2) z₂ =1-i√3 3) z₁ x z₂ 4) z₁/z₂ 5) (z₂)^12
Exercice 10
Exercice 11
Nombres complexes
soit : z = (1+i√3)/(√2+i√2) 1)Donner la forme exponentielle et la forme algébrique du nombre complexes z 2)en déduire : cos(11π/12) et sin(11π/12)
Exercice 12
Transformations du plan
Dans le plan complexe (O;i,j), on considère les points : A ;B ;C d'affixe respectivement zA = 3+5i ; zB = 3-5i ; zC = 7+3i Et soit z'l'affixe de M' l'image de M (z) par la translation t_vecteur u tel que aff(vecteur u) = 4−2i 1)montrer que : z' = z +4−2i (l'écriture complexe de la translation de vecteur u) 2) verifier que le Point C est l'image de A par t_vecteur u 3) déterminer l'affixe de B' l'image de B par la translation t_vecteur u
Exercice 13
Transformations du plan
Dans le plan complexe (O;i,j), on considère le points: A d'affixe zA = 3+5i et soit z'l'affixe de M' l'image de M (z) par l'homothétie de centre Ω(3;-2)) et de Rapport k = 4 1)montrer que : z' =4z-9+6i (l'écriture complexe de l'homothétie h(Ω,k)) 2) déterminer l'affixe de A' l'image de A par l'homothétie h(Ω,k)
Exercice 14
Transformations du plan
Dans le plan complexe direct (O;i,j), on considère les points : A ;B d'affixe respectivement zA = 7+2i; zB = 4+8i Et soit z'l'affixe de M' l'image de M (z) par la rotation r de centre B et d'angle π/2 1)montrer que: z' = iz + 4i + 12 (l'écriture complexe de la rotation r) 2) montrer que l'affixe du point C l'image de A par la rotation r est zC = 10-11i
Exercice 15
Transformations du plan
Déterminer l'écriture complexe de la rotation r de centre Ω (1+i) et d'angle 3π/4
Exercice 16
Transformations du plan
Soit la rotation r de centre Ω (i) et transforme O en O' ((√2+i√2)/2) Déterminer L'angle de cette rotation
Exercice 17
Transformations du plan
Soit f une transformation plane qui transforme M(z) en M' (z') tel que z' =-2z+3-3i Déterminer la nature de la transformation f et ses éléments caractéristiques
Exercice 18
Transformations du plan
Dans le plan complexe direct (O;i,j), on considère le point : A (i) et la rotation R₀ de centre O (0) et d'angle π/6 et soit R₁ la rotation de centre A (i) et d'angle π/3 Déterminer la nature de la transformation R₁∘R₀ et ses éléments caractéristiques
Exercice 19
Transformations du plan
soit ABC un triangle isocèle et rectangle on A tel que : (vecteur AB, vecteur AC) = π/2 [2π] et soit R la rotation de centre A et qui transforme B en C et soit la translation T = t_vecteur AB Déterminer : F₁ = R∘T et F₂ = T∘R
Exercice 2
Nombres complexes
en utilisant la Formule de Moivre 1)montrer que : sin2θ=2sinθcosθ Et que : cos 2θ = cos²θ-sin²θ 2)montrer que : cos3θ = 4 cos³ θ – 3 cos θ Et que : sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin³ θ 3)montrer que : cos 4θ = 8cos⁴ θ-8cos² θ+1 Et que : sin 4θ = 4 cos³ θ sin θ – 4 cos θ sin³ θ
Exercice 20
Exercice 21
Nombres complexes
soit a et b et c des nombres complexes tels que : |a|=|b|=|c| =1 et a≠c et b≠c 1)Montrer que : ((c-b)/(c-a))² * (a/b) ∈ R 2)en déduire que : arg((c-b)/(c-a)) = (1/2)arg(b/a) ±π/2 [2π]
Exercice 22
Nombres complexes
soit le nombre complexe z = e^(iπ/7) On pose : S = z + z² + z⁴ et T = z³ + z⁵ + z⁶ 1)Montrer que les nombres S et T sont conjugués 2) Montrer que : Im(S)>0 3)calculer S+T et S×T 4)en déduire les nombres S et T
Exercice 3
Exercice 4
Nombres complexes
1) Montrer que (∀(α, β) ∈ R² e^(iα) + e^(iβ) = 2cos((α-β)/2) e^(i(α+β)/2) (Cette égalité nous permet de déterminer la forme trigonométrique de la somme de deux complexes de même module) 2)on pose: u = 3e^(iπ/5) et v = 3e^(iπ/3) et u₁ = 1+e^(iπ/3) Et u₂ = 1-e^(iπ/3) Déterminer le module et l'argument du nombre complexes: u+v ; u₁ et u₂
Exercice 5
Nombres complexes
1) en utilisant la formule d'Euler Montrer que : cos² θ = (1+ cos 2θ)/2 2) Montrer que : cos³ θ = (1/4)cos 3θ + (3/4)cosθ 3) Montrer que : sin³ θ = -(1/4)sin 3θ + (3/4)sin θ 4) Montrer que : sin⁴ θ = (1/8)cos 4θ - (1/2)cos 2θ + (3/8) 5) Linéariser : a) sin⁶ θ b) cos² θ sin³ θ
Exercice 6
Nombres complexes
Résoudre dans C les équations suivantes : 1) (E₁): z² − z +2=0 2) (E₂):z²-z-2=0 3) (E₃) : z² - 2z + 1 = 0
Exercice 7
Nombres complexes
soit z∈ C on pose : P(z) = z² – 2z + 2 1)calculer : P(1-i) 2)en déduire dans C la résolution de l'équations P(z) = 0
Exercice 8
Nombres complexes
Résoudre dans C les équations suivantes : 1) (z² +9)(z² - 4) = 0 2) z² - 6z + 13 = 0 3) (4cosθ) z²-2(cos2θ)z+isinθ = 0 avec: θ∈ ]0; π/2[
Exercice 9
Nombres complexes
1) Résoudre dans C l'équation : z²-8z+17=0 2) Soit P(z)=z³ +(-8+i)z²+ (17-8i)z+17i a) Montrer que l'équation P(z) = 0 admet un imaginaire pur unique comme solution. b)déterminer les réels a;b;c tels que : P(z)=(z+i)(az²+bz+c) c) Résoudre dans C l'équation : P(z) = 0
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