Mathématiques · Lycée Bilingue de Toket Ii · Evaluation : Contrôle Continu n° 4 · Classe : Td · Date : 20 Février 2022
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Exercices, méthodes & corrigés (6)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Primitives et intégrales
On considère les fonctions f et g définies sur IR par f(x) = xcos^2x et g(x) = xsin^2x. 1) Déterminer une primitive de f + g sur IR. 2) a) En utilisant les formules d'Euler, linéariser cos^2x – sin^2x. b) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction h(x) = axsin(2x) + bcos(2x) soit une primitive de f – g sur IR. 3) En déduire une primitive de f et de g sur IR.
3 ptsExercice 2
Nombres complexes
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (0, u, v). Unité graphique 2cm. On donne les points A, B et C tels que : ZA = -1+i sqrt(3); zB = -1 - i sqrt(3) et Zc = 2. 1. Placer ces points dans le repère. 2. a) Calculer le rapport (zB - zC) / (zA - zC) et écrire le résultat sous forme exponentielle. b) En déduire la nature du triangle ABC. c) Déterminer une équation cartésienne de (Gamma1), cercle circonscrit au triangle ABC, puis construire (Gamma1). 3. Soit (Gamma2), l'ensemble des points M d'affixe z du plan tels que : 2(z + z-bar) + z * z-bar = 0. a) Déterminer une équation cartésienne de (Gamma2) et en déduire que (Gamma2) est un cercle dont on précisera Omega son centre et son rayon. b) Construire (Gamma2). c) Vérifier que les points A et B appartiennent à (Gamma2). 4. On désigne par r, la rotation de centre A et d'angle pi/2. a) Quelles sont les images des points A et B par la rotation r? b) Déterminer l'écriture complexe de r puis calculer l'affixe de C'. c) Déterminer l'image du cercle (Gamma2) par la rotation r.
5 ptsExercice 3
Fonctions
Soit la fonction f définie sur D = ]0 ; +infini[par f(x) = (x+lnx) / x^2 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ;I ;J). Unité graphique 2cm. Partie A : Soit la fonction g définie sur D par g(x) = 1 – x – lnx. 1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. 2) a) Calculer g(1). b) En déduire le signe de g suivant les valeurs de x. Partie B : 1) a) Calculer les limites de f aux bornes de D. b) En déduire que les axes du repère sont des asymptotes à (C). 2) a) Montrer que f'(x) = g(x) / x^3. b) Dresser le tableau de variation de f. 3) a) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha dans]0,5 ; 0,6[. b) Montrer que f réalise une bijection de [1; +infini[ vers un intervalle que l'on Précisera. 4) Tracer (C). 5) Soit m un réel. Discuter suivant les valeurs de m, le nombre et le signe des solutions de l'équation mx^2 – x – lnx = 0.
7 ptsTâche 1
Transformations du plan
Mr. TCHINDA est un cultivateur de poivre dans la ville de Loum .Il possède deux parcelles de terrains. Il souhaiterait mettre tout autour de ses parcelles des fils barbelés de protection coutant 1750Frs le mètre. Le terrain 1 est l'image de l'ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient : x^2 + y^2 - 2x - 99 = 0 par l'homothétie de centre A(2;-3) et de rapport K=9. Quelle somme va dépenser Mr. TCHINDA pour clôturer le terrain 1?
1.5 ptsTâche 2
Nombres complexes
Mr. TCHINDA est un cultivateur de poivre dans la ville de Loum .Il possède deux parcelles de terrains. Il souhaiterait mettre tout autour de ses parcelles des fils barbelés de protection coutant 1750Frs le mètre. Le terrain 2 est un jardin triangulaire dont un sommet est repéré par son affixe 2+3i et les deux autres sommets sont solutions de l'équation z^2 + (2+3i)z - 2(1 – 2i) = 0. Quelle somme va dépenser Mr. TCHINDA pour protéger le terrain 2?
1.5 ptsTâche 3
Suites numériques
Mr. TCHINDA contacte une entreprise pour l'entretien de ses machines. Elle lui propose de verser 600 000 F et que ce montant augmente de 5% par mois. Mr. TCHINDA s'exclame et se demande en quel mois ce contrat doublera -t-il. A partir de combien de mois le contrat doublera – t-il ?
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