Mathématiques · Collège Polyvalent la Perle Plus · Tlec · 2021/2022
Préparation du PDF…
Quiz Flash
Testez vos connaissances avec un quiz généré par IA basé sur cette épreuve.
Connexion requise
Connectez-vous pour lancer les quiz Flash IA et garder votre progression.
Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
Créez un compte gratuit puis passez en Premium pour débloquer la méthode guidée et le corrigé de chaque exercice.
Exercice 1
Nombres complexes
Cet exercice regroupe deux blocs de questions pouvant être traités de façon indépendante. 1. On considère la plan rapporté à un repère orthonormé (0,นี่, v). On note (1) l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie la relation: 5zz+ (z+z+ 1)² - 1 où z est le conjugué de z. Soit o la similitude directe plane d'angle, de rapport 2 et de centre O; Ψ l'application de C dans C qui à tout nombre complexe z, affixe d'un point M, associe le nombre (z), affixe de (M). On désigne par (1') l'image de (1) par φ. a. Démontrer que (1) est une ellipse et préciser ses éléments caractéristiques. b. Donner l'expression de (z) en fonction de z. c. Donner en justifiant la nature exacte de (1'). 2. On considère dans l'espace le cube ABCDEFGH ci-contre représenté. On note r₁ la réflexion de plan (ABCD); r₂ la réflexion de plan (ADHE); r3 la réflexion de plan (ABFE) et 14 la réflexion de plan (DCGH). On pose s = r₁or2or3or4, d = r₁or2 et t = 130r4. Il n'est pas demandé aux candidats de reproduire la figure. a. Montrer que d est un demi-tour dont on précisera l'axe. b. Montrer que t est une translation dont on précisera le vecteur. c. Reconnaitre et caractériser s.
4.5 ptsExercice 2
Nombres complexes
N.B: Les exercices 2, 3 et 4 sont liés. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (0,j,k). Soit A le point d'affixe 3 + i et B le point d'affixe 6. Pour tout réel u, on considère les deux points M₁₁ et N₁₁ d'affixes respectives 3 - sin(u) + icos(u) et 3(1 + cos(u)) + 3isin(u). 1. a. Peut-on avoir Mu = Nu? b. En déduire que pour toute valeur de u, il existe une unique similitude directe Tu qui transforme A en Mu et B en Nu 2. a. Montrer que l'écriture complexe de Tu est z' = eiuz + 3(1 - eiu). b. En déduire que pour tout u, Tu est une rotation dont on précisera le centre et l'angle. 3. Soit E l'ensemble des transformations Tu pour u E R. On muni E de la loi de composition d'applications "o". Montrer que (E, o) est un groupe abélien. 4. On pose Bo = B, B₁ = T(Bo), et pour tout entier naturel n non nul, Bn = T (Bn-1). a. Montrer par récurrence que Bn = T2n_1_(B), pour tout entier naturel n. b. Montrer que n ∈ N, le point B₁₂ a pour affixe ZB = 3 + 3cos π) + 3isin π) puis en déduire la position limite des points B, quand n tend vers +∞.
3.75 ptsExercice 3
Fonctions
1. Soit (C) l'ensemble des points M(x; y) tels que (y² - 8y + 15)ex-3 + 3x = 0. On note par (C₁) l'image de (C) par T. 1. Montrer que (C₁) a pour équation y = (x² + 2x)e-x. 2. Calculer l'intégrale (t² + 2t)e-tdt II. Soit la fonction numérique à variable réelle f définie par f(x) = (x² + 2x)e-x, (Sa courbe représentative est (C₁)). 1. Préciser l'ensemble de définition de f, calculer les limites aux bornes de cet ensemble puis en déduire l'existence d'une asymptote à (C₁). 2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 3. a. Déterminer la branche infinie de f en -∞. b. Tracer soigneusement (C₁) dans le repère. 4. a. Calculer l'aire du domaine limité par (C₁), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 3. b. En déduire l'aire du domaine limité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 3 et y = 3.
5 ptsExercice 4
Équations et inéquations
Soit l'équation différentielle (F): y" + 4y'+ 4y = f (x). 1. Résoudre dans IR l'équation différentielle (Fo): y" + 4y'+ 4y = 0. 2. Déterminer les réels a, b et c pour que la fonction numérique g de la variable réelle définie par g(x) = (ax² + bx + c)e-x soit solution de (F). 3. Soit h une fonction deux fois dérivable sur R. a. Démontrer que h est solution de (F) si et seulement si h - g est solution de (Fo) b. En déduire la solution h de (F) qui s'annule en 0 et dont la courbe admet en ce point une tangente horizontale.
2.75 ptsProblème
Arithmétique
Afin de crypter ou coder et décoder des messages dans une banque, on utilise un chiffrement affine. La banque dispose d'une table de conversion des lettres dont chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Un nombre x est associé à la lettre à coder puis on détermine le reste y de la division euclidienne de 7x + 5 par 26, puis on en déduit la lettre associée à y (c'est elle qui code la lettre d'origine). Exemple: M correspond à x = 12; 7 x 12 + 5 = 11[26] et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codé par la lettre L. Sur le manuel d'utilisation de la machine qui gère le codage et le décodage du gestionnaire de la banque est inscrit le système codage-décodage : y = 7x + 5[26] équivaut à x = 15y + 3[26]. Un gestionnaire d'une banque veut construire chez lui un objet d'art ayant la forme de l'oignon représentée en la figure 2. Pour se faire, l'ingénieur considère la surface à réaliser son objet d'art comme un plan rapporté à un repère orthonormé (0,1,j) d'unité 2m. L'ingénieur trace d'abord la courbe représentative de la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur [0;2] par f(x) = x√2x-x² puis il opère la rotation de (Cr) au tour de l'axe (0,1) engendrant un solide S ayant la forme de l'oignon représentée en la figure 2. L'ingénieur possède trois bus pour ramener ses employés aux chantiers. Lorsqu'il utilise le premier bus qui a des bancs de 5 places, une personne reste mais lorsqu'il utilise le deuxième bus qui a des bancs de 7 places, 5 personnes restent. Finalement, il utilise le troisième bus qui a des bancs de 2 places et ce bus prend tout le monde. 1. Aider le gestionnaire de cette banque à faire un tableau codage-décodage de toutes les lettres alphabétiques qui lui permettra facilement de coder et décoder des messages des autres banques. 2. Calculer le volume V du béton que peut prendre le solide S 3. Quel est le nombre minimal que l'ingénieur peut transporter ?
4.5 ptsNote ma copiePremium
Photographiez votre copie et recevez une correction détaillée avec une note sur 20. Jusqu’à 5 copies par jour.
Connexion requise
Connectez-vous pour envoyer une copie et recevoir une correction IA détaillée.