Maths Collège Vogt Première C Mini Session Février 2019
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Exercices, méthodes & corrigés (3)
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Méthodes et corrigés
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EXERCICE 1
Probabilités
A/ 1- Résoudre dans IR l'inéquation |4x + 2| > |3-x| 2- On considère dans IR l'équation (E): (x - 1)(x² - 3) = 39 2.1. Ecrire 39 sous forme d'un produit de facteurs premiers. 2.2. Trouver alors une solution de l'équation (E) dans l'ensemble IN des entiers naturels. 2.3. Montrer que cette solution entière est l'unique qu'admette l'équation (E) dans IR. 3- Calculer le réel L = (1+1/1)x(1+1/2)x(1+1/3)..×(1+1/2019) B/ Un dé cubique parfait A a deux faces numérotées 1, deux faces numérotées 3 et deux faces numérotées 5. Un dé cubique parfait B a trois faces numérotées 2, une face numérotée 4 et 2 faces numérotées 6. On lance simultanément les deux dés. Le numéro apparu sur la face du dé A est noté p et celui du dé B noté q. On forme ainsi un trinôme g du second degré défini pour tout réel x par: g(x) = x² + px + q. 1- Combien de trinômes peut-on ainsi former? 2- Combien de trinômes n'admettant pas de racines peut-on obtenir? 3- Combien de trinômes admettant deux racines distinctes peut-on obtenir?
6 ptsEXERCICE II
Barycentre
ABC est un triangle tel que AB = 2, BC = 4 et AC = 2√3 1- Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 2- 2.1. Déterminer et construire le barycentre G du système de points pondérés {(A,-1); (B, 1); (C, 1)}. 2.2. Quelle est la nature du quadrilatère ACGB? 3- 3.1. Exprimer -MA² + MB² + MC² en fonction de MG. 3.2. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que -MA² + MB² + MC² = 16
4 ptsPROBLEME
Fonctions
PARTIE A: (6pts) On considère la fonction f définie de IR - {-1} dans IR par f(x) = (x²+3x+3)/(x+1) 1- Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 2- Calculer la dérivée et dresser le tableau de variation de f. 3- Montrer que la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé (0; i,j) admet une asymptote oblique et une asymptote verticale dont on donnera les équations cartésiennes respectives. 4- Tracer (C) et ses asymptotes. 5- Montrer que le point K(-1; 1) est le centre de symétrie de (C). 6- m étant un paramètre réel, discuter graphiquement l'existence, le nombre et le signe des solutions de l'équation x² + (m-3)|x|+3-m = 0. PARTIE B: (4pts) 1- Déterminer les réels a et b tels que: (a√2 + b√3)² = 5 - 2√6 2- Résoudre dans [-π/2; 3π/2] l'inéquation 2sin²(x) + (√3 + √2) sin(x) + √6/2 ≥ 0. Représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique et calculer l'aire du polygone obtenu. 3- En déduire la résolution dans [-π/2; 3π/2] de l'inéquation -2cos²(x) + (√3+√2) sin(x) + √6/2 + 2 ≥0
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