Fonction Logarithme Neperien · Exercices Corrigés
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Exercices, méthodes & corrigés (33)
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Exercice 1
Logarithme et exponentielle
1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : A=ln 8 B=ln 1/16 C=1/2 ln 16 D=1/2 ln 1/4 2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a=ln 24 b=ln 144 c=ln 8/9 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : A=2 ln 3+ln 2+ln 1/2 B=1/2 ln 9-2 ln 3
Exercice 10
Logarithme et exponentielle
Un capital de 5000 euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 6%. Déterminer le nombre d'années n à partir duquel le capital acquis sera supérieur à 12000 euros
Exercice 11
Fonctions
Etudier le signe des expressions suivantes : A(x)=ln x(ln x+1) B(x)=2x ln(1-x) C(x)=-x^2 ln(x+1)
Exercice 12
Fonctions
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : 1) f(x)=ln(x^2+3x-4) 2) f:x -> ln((4-x^2)/x) 3) f:x -> ln(4-x^2)-ln x 4) f:x -> ln(x^2-4)-ln(-x)
Exercice 13
Limites et continuité
Déterminer les limites suivantes : 1) lim (x^2+ln x) as x -> +inf 2) lim (1-x)ln x as x -> +inf 3) lim (ln 2-3 ln x) as x -> +inf 4) lim (x-4+ln x) as x -> 0 5) lim ln x^2 as x -> -inf 6) lim (ln x)/x as x -> 0 7) lim x-ln x as x -> +inf 8) lim x ln(1+1/x) as x -> +inf (Poser X=1/x) 9) lim (ln(1+2x))/x as x -> 0 (Poser X=2x)
Exercice 14
Dérivation
Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis calculer les dérivées des fonctions ci-dessous 1) f(x)=-x/2+1+2 ln x 2) f(x)=(2 ln x)/ln 3 3) f(x)=ln(4-x)+ln x 4) f(x)=x ln x-x 5) f(x)=x^2 ln x 6) f(x)=ln(2x-5) 7) f(x)=ln(-3x+1) 8) f(x)=ln(x^2+x+1) 9) f(x)=ln((x-1)/(x+1)) 10) f(x)=ln(ln x) 11) f(x)=x ln(2x-3) 12) f(x)=2x(1-lnx) 13) f(x)=(ln x)/x 14) f(x)=(x-ln x)/x^2 15) f(x)=(ln x)^2-2 ln x-4 16) f(x)=ln x^2 17) f(x)=(ln x)^2 18) f(x)=ln|1-x^2|
Exercice 15
Fonctions
On considère la fonction ƒ définie par f(x)=ln(ax+b), et C sa courbe représentative. 1) Déterminer les nombres a et b tels que f(2)=0 et f'(3)=3/4. Quel est alors l'ensemble de définition de f? Quel est le sens de variation de f? 2) Déterminer les nombres a et b tels que la courbe C passe par le point A(2;0) et la tangente en A ait pour coefficient directeur -2.
Exercice 16. (suite)
Fonctions
4) Montrer qu'il existe un unique point B de la courbe (C) où la tangente (T) est parallèle à (A). Préciser les coordonnées du point B 5) Montrer que l'équation f(x)=0 a une unique solution a. Exprimer ln(a) en fonction de a. Montrer que le coefficient directeur de la tangente à (C) au point d'abscisse a est supérieur à 1. On admettra que 0,31<a<0,35 6) Représenter succinctement la courbe (C) et les droites (A) et (T).
Exercice 16. Partie I
Fonctions
On considère la fonction numérique g définie sur ]0;+inf[ par g(x)=x^2-2 ln x 1) Etudier le sens de variation de g 2) En déduire le signe de g(x) sur [0;+inf[
Exercice 16. Partie II
Fonctions
On considère la fonction numérique ƒ définie sur ]0;+inf[ par f(x)=x/2+(1+ln x)/x On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i;j) (unité graphique : 2 cm) 1) Déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. 2) Déterminer la limite de f en +inf. Montrer que la droite (A) d'équation y=x/2 est asymptote à la courbe (C). Déterminer la position de (C) par rapport à (A) sur ]0;+inf[. Montrer que (A) coupe (C) en un point A que l'on précisera 3) Etudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f
Exercice 17. Partie I
Fonctions
La fonction ƒ est définie sur ]0;+inf[ par f(x)=x-2+1/2 ln x 1) Etudier le sens de variations de f. Calculer les limites de f aux bords de l'ensemble de définition et dresser le tableau de variations de f. 2) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution I dans l'intervalle ]0;+inf[. Déterminer l'entier n tel que l in ]n;n+1[ 3) Déterminer le signe de f(x)
Exercice 17. Partie II
Fonctions
La fonction g est définie sur [0;+inf[ par : g(x)={ 0 si x=0 -7/8 x^2+x-1/4 x^2 ln x si x>0 1) Montrer que la fonction g est continue en 0. Déterminer la limite de g en +inf 2) Montrer que pour tout x>0, g'(x)=x f(1/x) 3) Montrer que On calcule g(1/l)=(1+4l)/(8l^2). Dresser le tableau de variation de g. 4) Donner les équations des tangentes à la courbe Gamma représentative de g aux points d'abscisses 1 et 1/l. Calculer lim g'(x) as x -> 0 et interpréter graphiquement cette limite. 5) Représenter succinctement Gamma et ses tangentes dans un repère orthonormé (O;i;j)
Exercice 18
Primitives et intégrales
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné : 1) f(x)=x^2-5x+1/x sur I=]0;+inf[ 2) f(x)=(x^2+x+1)/x sur I=]0;+inf[ 3) f(x)=7/x+5/racine(x)+1/x^2 sur I=]0;+inf[ 4) f(x)=3/(3x-4) sur I=[4/3;+inf[ 5) f(x)=1/(x+1) sur I=]-1;+inf[ 6) f(x)=1/(x+1) sur I=]-inf;-1[ 7) f(x)=(2x)/(x^2-4) sur I=[2;+inf[ 8) f(x)=1/(3x-5) sur [2;+inf[ 9) f(x)=(x+1)/(x^2+2x+2) sur IR 10) f(x)=x/(x^2-1) sur ]-1;1[
Exercice 19
Primitives et intégrales
On considère la fonction définie sur I=[4;+inf[ par f(x)=(2x^2-3x-4)/(x-2) 1) Trouver trois réels a,b, et c tels que f(x)=ax+b+c/(x-2) 2) En déduire une primitive de f sur [4;+inf[
Exercice 2
Logarithme et exponentielle
Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien a | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 8 | 27 | 72 | 216 | ln(1/6) | ln(1/16) ln(a) | 0,7 | 1,1 | | | | | | | | |
Exercice 20
Primitives et intégrales
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné : 1) f(x)=(cos x)/(sin x) sur I=]0;pi/2[ 2) f(x)=(ln x)/x sur I=[1;+inf[ 3) f(x)=1/(x ln x) sur ]1;+inf[ 4) f(x)=tan x sur [pi/2;pi]
Exercice 21
Primitives et intégrales
Calculez les intégrales 1) Integrale de 0 à 2 de dx/(x+1) 2) Integrale de -4 à -3 de 3/(x+2) dx 3) Integrale de -2 à 0 de 4/(1-5x) dx 4) Integrale de 1 à 2 de (x^2+x-2)/x^2 dx 5) Integrale de 0 à 1 de (1/4+1/(2-x)-4/(x+2)) dx 6) Integrale de 1 à e de (ln x)/x dx 7) Integrale de -1 à 0 de (ln(1-x))/(x-1) dx
Exercice 22
Primitives et intégrales
Soit f la fonction définie sur ]1;+inf[ par f(x)=(x^2+3x-1)/(x-1) 1) Montrez que pour tout x de ]1;+inf[, f(x)=x+4+3/(x-1) 2) Calculez Integrale de 4 à 2 de (x^2+3x-1)/(x-1) dx
Exercice 23
Primitives et intégrales
Soit f la fonction définie sur ]-2/3;+inf[ par f(x)=(6x^2+13x+4)/(3x+2) 1) Trouver trois nombres réels a, b et c tels que pour tout x de ]-2/3;+inf[, f(x)=ax+b-c/(3x+2) 2) Calculez Integrale de 0 à 2 de (6x^2+13x+4)/(3x+2) dx
Exercice 24
Primitives et intégrales
Soit g la fonction définie sur ]0;+inf[ par g(x)=x ln x-x 1) Déterminez la dérivée g' de g 2) Calculez Integrale de 1 à e de ln x dx
Exercice 25
Primitives et intégrales
Calculez l'intégrale I en utilisant la formule d'intégration par parties: I=Integrale de 1 à e de x ln x dx
Exercice 26
Primitives et intégrales
On considère l'application f_n définie pour tout t de R^+ par f_n(t)=1/(t(t^n+1)) où n est un entier strictement positif. 1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel t strictement positif : f_n(t)=1/(t(t^n+1))=(a t^(n-1)+b)/(t^n+1)+c/t 2) Montrer que : Integrale de 1 à 2 de f_n(t) dt = ln( n-ième racine((2^(n+1))/(2^n+1)) ) 3) A l'aide d'une intégration par parties, calculer : Integrale de 1 à 2 de (t^(n-1) ln t)/((t^n+1)^2)
Exercice 27
Suites numériques
On considère la suite (u_n) de réels strictement positifs, définie par : u_0=2, et pour tout n in N, ln(u_(n+1))=1+ln(u_n). 1) Exprimer u_(n+1) en fonction de u_n et préciser la nature de la suite (u_n). 2) Déterminer la monotonie de la suite (u_n), et préciser sa limite. 3) Exprimer la somme Somme de k=0 à n de u_k en fonction de n. 4) Exprimer la somme Somme de k=1 à n de ln(u_k) en fonction de n. Enduire le calcul de u_1 x u_2 x ... x u_n en fonction de n.
Exercice 28
Fonctions
Soit la fonction ƒ définie sur R^* par f(x)=(ln x)/x et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1) Donner la dérivée de f. 2) Donner le sens de variation de f. 3) Donner une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse 1. 4) Donner une primitive de f sur R^* . 5) Quel est le sens de variation de la fonction G définie sur R^* par G(x)=Integrale de 1 à x de f(t)dt
Exercice 29
Fonctions
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+inf[ par f(x)={ x^2/2 (ln x-3/2) si x>0 et f(0)=0 1) Déterminer la limite de f(x)/x lorsque x tend vers 0. f est-elle dérivable en 0 ? 2) Etudier le sens de variations de f et étudier la limite de f en +inf 3) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution de l'équation f(x)=0 dans [e;+inf[ 4) Soit T la tangente à la courbe représentative (C) de f au point d'abscisse 1. Déterminer l'équation de T. 5) Tracer la courbe représentative C) de f et la droite T dans un repère orthonormal (O;i;j) 6) Soit lambda in ]0;e]. On pose I(lambda)=Integrale de lambda à e de f(x)dx a) Calculer I(lambda) pour lambda in [0;e] b) Calculer la limite de I(lambda) lorsque lambda tend vers 0 c) En déduire l'aire de la partie d plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives (x=0) et (x=e)
Exercice 3
Logarithme et exponentielle
Comparez les réels x et y : x=3 ln 2 et y=2 ln 3 x=ln 5-ln 2 et y=ln 12-ln 5
Exercice 30
Fonctions
Soit la fonction ƒ définie par f(x)=x ln(|x|) 1) Donner le domaine de définition D de la fonction f; déterminer une parité éventuelle ; et étudier les limites aux bornes du domaine de définition. Calculer pour tout x de D la dérivée de f (si elle existe !) 2) On étudie, pour cette question, le cas x>0. Montrer qu'il existe un unique lambda tel que f'(lambda)=0 ; montrer que l'on a ; 0,3<=lambda<=0,4 (on pourra utiliser le fait que le réel e tel que ln e=1 vérifie 2,5<=e<=3 3) En déduire le tableau de variations de f (sur D) 4) Déterminer une primitive de g définie par g(x)=ln(x) (on précisera le domaine sur lequel on travaille
Exercice 4
Logarithme et exponentielle
Simplifier au maximum : a=ln(e^2) b=ln(e^3) c=ln(1/e^2) d=ln(racine(e)) e=ln(e racine(e))
Exercice 5
Fonctions
Le son se manifeste par des variations de pression de l'air. L'unité de mesure de la pression de l'air est le Pascal. La pression de l'air s'exerce sur le tympan de l'oreille humaine. Pour une pression supérieure ou égale à 20x10^-6 Pascals s'exerçant sur son tympan, l'oreille humaine perçoit un son dont le niveau se mesure en décibels. On note p_0=20x10^-6. Pour une pression de p Pascals s'exerçant sur le tympan, avec p>=p_0, le niveau sonore perçu est égale à f(p) = (20 / ln(10)) ln(50000p) 1) Quel est le niveau sonore perçu pour une pression de 2 Pascals? 0,2 Pascals? 0,02 Pascals? Calculer f(p_0). 2) A partir d'un niveau sonore de 120 décibels, on ressent une douleur. Déterminer la pression p correspondant à ce niveau sonore. 3) Montrer que pour tout réel x>=p_0 : f(10x)=20+f(x). On en déduit "le niveau sonore augmente de 20 décibels quand la pression s'exerçant sur le tympan est multipliée par 10". 4) Exprimer, pour tout réel x>=p_0, f(100x) en fonction de f(x) et énoncer la propriété du niveau sonore correspondante.
Exercice 6
Équations et inéquations
Précisez l'ensemble de définition puis résoudre les équations suivantes : 1) ln(2+5x)=ln(x+6) 2) ln(x-1)+ln(x-3)=ln 3 3) ln x=2 4) (2(1+ln x))/x = 0 5) (ln x)^2+ln x-6=0 6) ln(2x-5)=1 7) ln((x-1)/(2x-1))=0 8) ln(|(x-1)/(2x-1)|)=0 9) ln(x-1)=ln(2x-1) 10) ln(|x-1|)=ln(2x-1) 11) ln(|x-1|)=ln(|2x-1|)
Exercice 7
Équations et inéquations
1) Développer l'expression : A(x)=(x-1)(x+1)(x-2) 2) Résoudre les équations suivantes : (a) ln(x^3+2)=ln(2x^2+x). (b) ln(|x|^3+2)=ln(2x^2+|x|) (c) ln(x^3-x^2-3x+3)=ln(x^2-2x+1). (d) ln(x^3-x^2-3x+3)=2 ln(1-x).
Exercice 8
Systèmes linéaires
Résoudre le système d'équations suivant : 1) { x-y=3/2 ln x+ln y=0 } 2) { 5 ln x+2 ln y=26 2 ln x-3 ln y=-1 } 3) { ln xy=4 (ln x)(ln y)=-12 }
Exercice 9
Équations et inéquations
Précisez l'ensemble de définition puis résoudre les inéquations suivantes : 1) ln(2+5x)<=ln(x+6) 2) ln(x-1)+ln(x-3)<ln 3 3) ln x>=2 4) (2(1+ln x))/x > 0 5) (ln x)^2+ln x-6<=0 6) ln(2x-5)>=1 7) (1,2)^n>=4, n in N 8) (0,8)^n<=0,1, n in N
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