Mathématiques · Probatoire d et TI · Session : 2022
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Trigonométrie
I. Pour chacune des questions suivantes, quatre réponses sont proposées, mais une seule est juste. Recopier le numéro de la question suivi de la lettre correspondante à la bonne réponse. 1) On donne f(x) = (√x+7 - 3) / (√x+2 - 2) ; alors la limite de f quand x tend vers 2 est : a) 3/2 b) -3/2 c) 2/3 d) 3/2 0,5pt 2) L'ensemble des points M du plan tel que MA. MB = 0 est : a) Le cercle de diamètre [AB] b) La médiatrice du segment [AB] c) La droite (AB) d) Aucune réponse. 0,5pt 3) Le nombre d'anagrammes du mot IMPERIALISME est : a) A_12^2 A_8^4 x 5 b) 12! / (3!4!) c) C_12^2 C_10^4 C_6^5 x 5 d) 12! / (3!2!2!) 0,5pt 4) Dans un graphe, les points sont appelés : a) Arêtes b) Sommets c) inflexion d) Aucune réponse. 0,5pt II. On considère l'équation (E): cos²x + (1 - √3)cosx - √3 = 0. 1. Montrer que (1 + √3)² = 4 + 2√3. 0,5pt 2. Résoudre dans R l'équation x² + (1 − √3) – √3 = 0. 1pt 3. En déduire la résolution dans ]-π; π] de l'équation (E). 1pt
4.5 ptsExercice 2
Statistiques
Un professeur de mathématiques a relevé dans le tableau ci-dessous, les notes de ses élèves de première D à l'examen blanc. Notes | [0; 4[ | [4; 8[ | [8; 10[ | [10;14[ | [14;18[ | [18; 20[ Effectifs | 10 | 38 | 55 | 60 | 35 | 2 1. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants. 1pt 2. Déterminer par interpolation linéaire la médiane et calculer l'écart-type. 1pt 3. On tire au hasard et simultanément, 3 élèves de cette classe. Déterminer le nombre de possibilités qu'on ait au plus deux élèves qui ont la moyenne. 1pt
3 ptsExercice 3
Fonctions
Soit la fonction rationnelle définie par : f(x) = -2x + 1/x et on désigne par (Cf) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (0,I,J) d'unité 1 cm. 1) a) Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de f. 0,5pt b) En déduire que la courbe (Cf) admet une asymptote verticale dont-on précisera l'équation. 0,25pt 2) Démontrer que la droite d'équation y = −2x, est asymptote oblique à (Cf). 0,25pt 3) Montrer que ∀x ∈ Df, f'(x) = (-2x²-1) / x². 0,5pt 4) Montrer que O(0; 0) est centre de symétrique à (Cf). 0,5pt 5) a) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. 0,75pt b) Construire (Cf) et la tangente (T) dans le même repère. 0,75pt
3.5 ptsExercice 4
Suites numériques
On considère la suite numérique (un) définie par u_0 = 2 et pour tout entier naturel n, u_n+1 = 1/4 u_n - 3. 1. un est-elle arithmétique? Géométrique? 0,5pt 2. On pose v_n = u_n + 15. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 1pt 3. Exprimer v_n et u_n en fonction de n. 1pt 4. On pose S_n = v_0 + v_1 + … + v_n et T_n = u_0 + u_1 + … + u_n. Exprimer S_n en fonction de n. 1,5pt
4 ptsProblème
Géométrie dans le plan
PARTIE B : Évaluation des compétences /5 points Situation : Pour la construction du nouveau stade à DSCHANG, Samuel ÉTO’O président de la FECAFOOT fait appel à l'ingénieur et et demande le devis. L'ingénieur répondit : Le stade doit être de forme rectangulaire de périmètre 360 m et d'aire maximal. À l'extérieur du stade, il doit avoir une piste d'athlétisme dont l'ensemble des points M vérifie 12 ≤ ||MA|| + ||MB|| + 2||MC|| ≤ 15 qu'on doit recouvrir avec une peinture rouge dont le 5 litres occupe une surface de 4 m² ; 1 pot de peinture contient 3 litres et est vendu à 6000 FCFA. L'un des ouvriers décide de placer la somme perçu après son travail une somme de 500000 FCFA dans un banque à un taux annuel d'intérêts composés. A la deuxième année, il perçoit une somme de 2000000 FCFA. Tâches : 1) Déterminer les dimensions de ce stade. 1,5pt 2) Combien doit dépenser Samuel ÉTO’O pour l'achat des pots de peinture? 1,5pt 3) À quel taux d'intérêt, cet ouvrier a-t-il placé son argent? 1,5pt Prendre π = 3, 15. Présentation : 0,5pt
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