Épreuve Zero Regionale de Mathématiques · Dres du Nord · Février 2026 · Tle C
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
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Exercice 1
Nombres complexes
I- On considère la suite (un) définie sur N par : { uo = 4 Un+1 = e² x √un et on pose vn = Inun - 3. 1) Démontrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et son premier terme. 2) Exprimer un et vn en fonction de n. 3) Calculer la limite de (vn), puis en déduire que la suite (un) est convergente. II- Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, ũ, v). On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 1 + i, b = 3 + i et c = 1 + 3i. Soit (Γ) le cercle de centre A passant par C. 1) Calculer (c-a)/(b-a) et en déduire la nature du triangle ABC. 2) Soit S la similitude du plan telle que S(B) = B et S(A) = C. a) Montrer que l'écriture complexe de S est z' = (1 − i)z - 1+3i. b) En déduire l'expression analytique de S. c) Déterminer l'image (Γ') de (Γ) par S III- Soit u un nombre complexe et f la transformation d'écriture complexe z' = u³z + u − 1. a) Déterminer u pour que f soit une translation. b) On suppose que u³ ≠ 1. i) Montrer que le point Ω d'affixe -1/(1+u+u²) est l'unique point fixe de f. ii) Déterminer u pour que f soit une symétrie centrale.
5 ptsExercice 2
Géométrie dans l'espace
I- Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; i,j). 1) Montrer que la courbe (H) d'équation 4x² – y² = 4 est une hyperbole de centre, de sommets et d'asymptotes à déterminer. 2) Soit θ ∈ ]-π/2 ; π/2[, on considère l'équation(E): Z² - (2/cos θ) Z + (5/cos² θ) = 0. a) Montrer que le discriminant de (E) est Δ = (4i tan θ)² et en déduire les solutions de (E). b) Soit M' et M'' les points images de (1+2isinθ)/cos θ et (1-2isinθ)/cos θ. Montrer que M' et M'' décrivent une partie de (H) lorsque θ varie dans]-π/2 ; π/2[. II- L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; i,j,k). On considère les points A (2;-3;-1), B(1;0;2) et C(0;1;3). 1. a) Montrer que les points A, B, C sont non alignés. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 2) On considère l'ensemble (Sθ) des points M(x; y; z) vérifiant : x² + y² + z² - 20x – 2y sin θ + θ² − 2 + sin² θ = 0. a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Sθ) lorsque θ ∈ ] – π; π[. b) Etudier suivant les valeurs de θ la position relative du plan (ABC) et de (Sθ).
5 ptsExercice 3
Fonctions
I- On considère dans Z² l'équation (E): (x + 1)² – 9 = 5y. 1) Montrer que si (x; y) est une solution de (E) alors x = 2[5] ou x = 1[5]. 2) Résoudre dans Z² l'équation (E). II- On considère la fonction numérique f définie sur [0; +∞[ par : { ln(x+1)/x si x ∈ ]0; +∞[ 1 si x = 0 1) Déterminer la limite de f en + ∞. 2) Démontrer que pour tout réel t ∈ ]0; +∞[, 1-t ≤ 1/(t+1) ≤ 1-t+t². 3) En déduire que pour tout réel x de ]0; +∞[, x - x²/2 ≤ ln(x + 1) ≤ x - x²/2 + x³/3. 4) En déduire que la fonction f est dérivable en 0 et donner une équation cartésienne de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse zéro. 5) Montrer que f est dérivable sur [0; +∞[. 6) Déterminer la dérivée f' de f et dresser le tableau des variations de f.
5 ptsPARTIE B
Géométrie dans le plan
À l'occasion de la CAN dans la ville de Garoua, le ministre des sports a sollicité les services d'un ingénieur des travaux publics BOUBA pour évaluer le budget de la pelouse synthétique du stade. Le stade est délimité dans un repère orthonormé (O; i, j) par la courbe (Δ) dont l'équation dans le repère (O; ũ, v) est : 13X² + 7Y² + 6√3XY – 16 = 0. Les vecteurs u et v sont définis dans le repère orthonormé (O; i, j) par u = 1/2 i + √3/2 j et v = -√3/2 i + 1/2 j. Le mètre carré du gazon synthétique coûte 12000 FCFA. L'unité de longueur vaut 10 mètres et π ≈ 3,14. À côté du domicile de monsieur BOUBA, son épouse produit de l'huile d'arachide qu'elle vend dans un marché de la place. Dans ce marché on vend x litres d'arachides à 4800 FCFA où x est l'unique solution dans R de l'équation : (E) : ln(x - 5) + ln(x + 2) = ln(2x - 4). Elle conserve toute sa production une cuve ayant la forme d'un tétraèdre ABCD où A, B, C et D sont quatre points de l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; i,j,k). L'unité étant le mètre.Les points A, B, C et D sont de coordonnées respectives (2; 4; 0), (-3; 0; 5), (0; 6; −3) et (4; 5; -6). Monsieur BOUBA demande à son jardinier de lui aménager un coin dans l'enceinte de son domicile pour son sport matinal; il doit y semer du gazon dont le mètre carré coûte 5000 FCFA la semence. Ce coin est l'image d'un carré de 4 m de côté par la transformation S du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z lui associe le point M' d'affixe z' tel que : { x' = 2x - 2y + 2 y' = 2x + 2y + 3 Tâches: 1) Déterminer la dépense effectuée par M. BOUBA pour l'aménagement du coin de sport. 2) Quel budget faut-il prévoir pour le gazon synthétique de cette pelouse? 3) Déterminer la somme obtenue par Mme BOUBA après la vente de sa production d'huile. Présentation:
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