Equations Différentielles Linéaires · Terminale C,D · Copyright2017© Monsieur Diack (Mathématiques
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Exercices, méthodes & corrigés (18)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Équations et inéquations
Dans chacun des cas suivants, résoudre sur R l'équation différentielle (E) et déterminer la solution vérifiant la condition initiale donnée. a.) (E): y'-3y = 0_et y(0) = 2 b.)(E):3y'+y = 0_et y(1) = e c.) (E): y'+y ln 2 = 0_et y(1) =1 d.)(E):y'= y et y(1) = −1
Exercice 10
Primitives et intégrales
Dans cet exercice, on cherche à calculer l'intégrale π I= ∫_0^(π/4) [sin(2x) + e^-xcos(x)]dx à l'aide d'une équation différentielle : 1. Résoudre l'équation différentielle : y''+2y'+2y = 0 (E1) 2. On considère l'équation différentielle y''+2y'+2y = 4cos(2x) – 2sin(2x) (E) a. Déterminer deux réels a et b pour que la fonction f1 définie par : ∀x ∈R f1(x) = asin(2x) + bcos(2x) soit solution de l'équation (E) . f désignant une numérique, on désigne par gla fonction f - f1. b.Démonter que f est solution de (E) si et seulement si g est solution de (E1). En déduire la forme générale des fonctions vérifiant l'équation (E). Vérifier que la fonction f de (E) telle que f(0) = √2/2 et f'(0) = 2 et f(x) = sin (2x) +e¯*cos(x). Utiliser (E) pour trouver l'ensemble des primitives F de f. 3. En déduire la valeur de l'intégrale I.
Exercice 11
Équations et inéquations
1) Déterminer l'ensemble des solutions définies sur R de l'équation différentielle : y'' + y = 0 (1). 2) Etant donné une fonction numérique de variable réellex, g deux fois dérivable sur ∀x ∈ R* ; f(x) = xg(1/x). Exprimer f'(x) à l'aide de g'' (1/x) et de x. 3) On considère l'équation différentielle. y'' = -y (2) a) Démontrer que la fonction g deux fois dérivable sur R* est solution de (2) si et seulement si la fonction f définie par : ∀ x ∈ R* ; f(x) = xg(1/x) est solution de (1). b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation de (2) définies sur chacun des intervalles et ]0, +∞[. 4) Soit gune solution de l'équation (2) définie sur ]0, +∞[. Déduire de ce qui précède une primitive de la fonction : x^2 g(1/x).
Exercice 2
Équations et inéquations
Dans chacun des cas suivants, résoudre sur R l'équation différentielle (E) et déterminer la solution vérifiant les conditions initiales données. a.)(E):y''+2y'+y = 0, y(0) = −1 et y'(0) = 0 b.)(E): y'"+16y = 0, y(0) = 0 et y'(0) = −1 c.) (E): y"-(ln2)² = 0, y(0) = 1 et y(2) = 1 d.)(E):4y'+y = 0, π y) = 1 ety()=1 3 e.)(E):y'"+2y'-3y = 0, y(0) = 3 et y'(0) = −1 f.)(E):y'"+y'+y = 0, y(0) = −1 et y(0) = √3
Exercice 3
Équations et inéquations
On considère l'équation différentielle (E) : y'+2y=e-2x. 1. Vérifier que la fonction g : x → (x+1)e-2x est solution sur R de (E). 2. Démontrer qu'une fonction f+g_est solution de l'équation de (E) si et seulement si la fonction f est solution de l'équation différentielle : y'+2y=0. 3. En déduire les solutions sur R de (E).
Exercice 4
Équations et inéquations
Soit la fonction f: x → (x+1)e-2x . 1. Déterminer les nombres réels a et b pour que f soit solution sur R de l'équation différentielle (E) y''+ay'+by = 0. 2. Démontrer pour tout entier naturel n non nul, la dérivée d'ordrenden de f est solution de (E). 3. Déterminer parmi les solutions de f celle qui est , solution de (E).
Exercice 5
Équations et inéquations
Soit 0 un nombre réel tel que 0 ≤ 0< π/2 a. Résoudre dans C, l'équation : z^2cos^20 - 2zsin 0cos0 + 1=0. Déterminer le module et un argument des solutions éventuelles de cette équation. b. Résoudre l'équation différentielle : (1+cos20)y''-2 sin 20y'+2y = 0.
Exercice 6
Équations et inéquations
Soit a un nombre réel tel que : 0 ≤ a < π/2 .Résoudre sur R l'équation différentielle : (1+cos2x)y''−2y' sin 2a + 2y = 0.
Exercice 7
Équations et inéquations
1. Résoudre sur R l'équation différentielle (E) y'"+16y = 0 2. Déterminer la solution f qui vérifie : f(π/2)=-2 et f (π)=8. 3. Résoudre dans [0; π] l'équation f(x)=√2.
Exercice 8
Équations et inéquations
1. Résoudre sur R l'équation différentielle (E) y''+2y'+5y = 0. 2. Déterminer la solution f qui vérifie : f(0)=1 et f'(0)=-1 3. On pose: F(x) = -1/5 [f'(x)+2f(x)] a. Démontrer que Fest une primitive de f sur R; expliciter F(x) . b. En déduire le calcul de ∫_0^(π/2) f(x)dx
Exercice 9
Équations et inéquations
Soit l'équation différentielle (E) y''+3y = 10cosx.. a. Résoudre l'équation différentielle (F) : y''+3y = 0 b. Déterminer les nombres réels a et ẞ tels que la fonction g définie par : g(x) = a cosx + β sinx soit une solution de l'équation (E) c. Démontrer qu'une fonction f est une solution de (E) si et seulement si f - g est une solution de (F). d. En déduire les solutions de l'équation différentielle de (E).
Problème 1
Équations et inéquations
A) Soit (E) l'équation différentielle du second ordre : y'' - 3y' + 2y = 0 (E). 1. a) Quelles sont les solutions de (E) ? b) Quelle est la solution de (E) dont la courbe représentative (C) admet au point d'abscisse x = 0 la même tangente que la courbe (C') représentative de y = e3x ? On dit que (C) et (C') sont tangentes . 2. Représenter, dans un même repère orthonormé les courbes (C) et (C') dont on précisera les positions relatives. 3. A étant un réel strictement positif, soit ha les fonctions telles que : hx(x) = −22ex + 2de2x . a. Montrer que ha est solution de (E). b. Soit Ca la courbe représentative de ha. Après avoir calculé, en fonction de a les coordonnées du point commun à des courbes Cx et (C'), montrer que ces courbes sont tangentes en ce point. c. Préciser les positions relatives de Cx et (C'. B) Soit (E') l'équation différentielle : y'' – 3y' + 2y = -x² + x + 2 (E') 1 2 1. Trouver un polynôme P du second degré solution de l'équation (E'). 2. On pose f(x) = g(x) -1/2 x² - x. Montrer que f est solution de (E') si et seulement si g est solution de (E). En déduire les fonctions f solutions de (E'). 3. Déterminer la solution de (E') dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (0, 2) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 1.
Problème 2 Partie A
Équations et inéquations
1. (Eo) désigne l'équation différentielle : y'' + 2y' + y = 0. . Déterminer les solutions générales de (Eo). 2. (E) est l'équation différentielle y'' + 2y' + y = 2e-x a. Vérifier que la fonction h définie sur R par h(x) = x²e-x est solution de (E). b. Démontrer que o est une solution de (E) si et seulement si g = o - h est solution de (Eo). c. Déterminer toutes les solutions de (E). d. Déterminer la solution fo de (E) satisfaisant aux conditions initiales fo(0) = 4 et f'o(0)=0.
Problème 2 Partie B
Fonctions
On considère la fonction f définie par : f(x)= (x+2)²e-x. On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'unité graphique étant 1 cm) 1. Etudier les variations de f et tracer (C) avec soin. 2. En remarquant que f est une solution de l'équation différentielle (E), déterminer une primitive F de f sur R. (On calculera∫(f'' + 2f' + f)(t)dt) 3. Pour tout entier naturel n, on pose : In= ∫_0^n f(t)dt. a. Exprimer In en fonction de n et interpréter graphiquement. b. Etudier la convergence de la suite (In), puis en déduire l'aire de l'ensemble des points M(x,y) du plan tels que x≤ 0 et 0≤ y ≤ f(x).
Problème 2 Partie C
Suites numériques
On se propose d'étudier la convergence de la suite (un) définie, pour tout entier naturel n non nul par 1. Vérifier que pour tout entier naturel n non nul, on a u = 1/n ∑_k=1^n f(k/n) 2. Etablir que, pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel k tel que 0≤ k ≤ n- 1 1, ona: 1/n f((k+1)/n) ≤ ∫_(k/n)^((k+1)/n) f(t)dt ≤ 1/n f(k/n) 3. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : ∫_0^n f(t)dt ≤ un + 4e-9/ne 4. En déduire pour tout entier naturel n non nul on a: I_n ≤ u_n ≤ I_n. 5. Déterminer la convergence de la suite un, puis préciser sa limite .
Problème 3 Partie I
Équations et inéquations
On donne un entier naturel n strictement positif et on considère l'équation différentielle (E) : y'+y = e¯* ; n! x^n . 1) On fait l'hypothèse que deux fonctions f et g définies et dérivables sur R, vérifient pour tout réel x : g(x) = h(x)e¯* . a) Montrer que g est solution de (E) si et seulement si, pour tout réel x h'(x) = x^n / n! b) En déduire la fonction h associée à une solution de g de (E),sachant que h(0)=0.Quelle est alors la fonction g ? 2) Soit o une fonction dérivable sur R. a) Montrer que o est solution de (E) si et seulement si o – g est solution de (F) : y' + y = 0. b) Résoudre (F). c) Déterminer la solution générale de l'équation (E). d) Déterminer la solution f de l'équation (E) vérifiant f(0)=0
Problème 3 Partie II
Suites numériques
On pose pour tout réel x, f(x)=e^-x et f₁(x) = xe¯* . 1) a) Vérifier que f est solution de l'équation différentielle y'+y = fo. b) Pour tout entier n strictement positif on définit la fonction f„ comme solution de l'équation différentielle y'+y = f_₁ vérifiant f(0) = 0 . n-1 En utilisant la partie I, montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier naturel n ≥1 : f(x) = x^n e^-x / n! . 2) Pour tout entier naturel n, on pose In = ∫_0^1 f(x)dx; a) Montrer que pour tout entier naturel n et pour tout réel x de l'intervalle [0;1] 0≤ f(x) ≤ x^n / n! . b) En déduire que 0 ≤ I_n ≤ 1 / (n+1)! , puis déterminer la limite de la suite (I_n). c) Montrer pour tout entier naturel k non 1 k! nul, l'égalité : I_n - I_k-1 = e ; d) Calculer I_n et en déduire que : I_n = 1 - ∑_(k=0)^n (1/k!) e) En déduire que lim_(n→+∞) ∑_(k=0)^n (1/k!) = e
Problème 4
Fonctions
1. Soit l'équation différentielle : (Em): my'' + 2y' + 2y = 0 ; où m est un réel. a. Déterminer suivant les valeurs de m, l'ensemble des fonctions deux fois dérivables sur R solutions de l'équation (Em). b. Déterminer la solution (E1) dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées (0,1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation : y = -x. 2. Soit f(t) la fonction définie sur [π/2, 3π/2] par f(t) = e¯tcost. Etudier les variations de f et construire sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités (2cm sur l'axe des abscisses et 10cm sur l'axe des ordonnées). 3. Soit g le prolongement à R de f. a. Comparer (t) et g(t + 2π). Donner alors le sens de variation de g. b. On pose u(t) = e¯t et v(t) = −e¯t. On note (Cu) et (C) leurs courbes représentatives respectives et (G) celle de g dans le même repère. Quels sont les points communs à (G) et (Cu) d'une part et à (G) et (Cv) d'autre part ? c. Montrer qu'en chacun de ses points les deux courbes ont même tangente. d. Démontrer que g admet une limite en +∞ . On fait remarquer que -1 ≤ cost ≤ 1 4. Pour tout réel k on pose : ak = ∫_(π/2+kπ)^(π/2+kπ) g(t)dt. a. Calculer ak (on pourra faire deux fois une intégration par parties). b. Pour tout entier n, on poseSn = ∑_(k=0)^n |ar|. Monter que la suite (Sn) admet une limite. Interpréter géométriquement ce résultat. 5. Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la courbe (Λ) définie par le système d'équations. (x(t) = e¯tcost (y(t) = etsint; pour t ∈ [π/2, 3π/2] . a. Etudier les variations de x et y et dresser le tableau de variations conjointes. b. Soit Mt le point de (Λ) de paramètre t et V le vecteur dérivé lui correspondant. Calculer la norme du vecteur OMt et monter que l'angle (OMt; Vt) est constant. c. Représenter graphiquement (Λ). On précisera les tangentes aux points de paramètre π/2 et 3π/2.
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