Mathématiques · Region de L’extrême Nord · TLeD/TI · Janvier 2023
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Exercices, méthodes & corrigés (4)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,u,v). I- On considère les points A, B, C et D du plan complexe d'affixes respectives a = 5+4i,b=4+i,c=3+3i et d = 6+2i . 1. Placer les points A, B, C et D sur le graphique. 2. Calculer (d-b)/(d-a) , en déduire que le triangle DAB est rectangle et isocèle. 3. On considère l'application f qui à tout point M d'affixe z avec z≠b, associe le point M' d'affixe z' définie par z' = (z-5-4i)/(z-4-i). a)Calculer l'affixe c'du point C', image de C par f et placer le point C' sur la figure. b) Déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z avec z≠b tels que |z'|=1. c) Justifier que (E) contient les points D et C. Tracer (E). 4. On appelle J l'image du point A par la rotation r de centre D et d'angle -π/2. Déterminer l'affixe de J. II.- On considère la transformation S du plan complexe dans le plan complexe, qui à tout point M d'affixe z = x+iy associe le point M' d'affixe z' = x'+iy' telle que : { x' = x - y + 2 { y' = x + y a) Donner l'expression complexe de S b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de S. c) Soit le cercle (C) de centre I (1; −1) et de rayon r = √2 .Déterminer la nature et les élements géométriques du transformé (C') de (C) par la transformation S.
6 ptsExercice 2
Statistiques
Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale d'eau (en m³) utilisée pour son exploitation de puis le premier jour et donne le tableau suivant : Nombre de jours écoulés : x | 1 | 3 | 5 | 8 | 10 Volume d'eau utilisée (en m³) :y | 2,25 | 4,3 | 7 | 15,5 | 27 Le plan est muni d'un repère orthogonal. On prendra 1cm pour représenter 1 jour et 0,5 cm pour un mètre cube. 1. Représenter le nuage de point associé à cette série statistique. 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. 3. Montrer que la covariance de x et y est 28,296 4. Démontrer qu'une équation de la droite de régression de y en x est y = (3537/1330)x + (8381/2660) sachant que la variance de x est v(x)=10,64 . 5. En déduire une estimation du volume d'eau utilisée pendant les 20 premiers jours.
4 ptsExercice 3
Fonctions
On considère la fonction numérique ƒ définie par : f(x) = (2x²-3x)/(x²-3x+3) ; (Γ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.Donner le domaine de définition de f et les limites de f (x) lorsque x tend vers l'infini. 2. Calculer f'(x) pour tout réel x et dresser le tableau de variations de f. 3. Calculer f (x) – 2, en déduire la position de la courbe (Γ) par rapport à son asymptote horizontale. 4. Donner les équations des tangentes à la courbe (Γ) aux points d'abscisses respectifs 0 et 2. 5. Tracer les tangentes précédentes et la courbe (Г). 6. Montrer que la restriction g de f à [3;+∞[ est une bijection de cet intervalle sur un intervalle J quel'on déterminera. Tracer dans le même repère la courbe représentative de g⁻¹.
5 ptsPartie B
Nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (0,ē₁, ē₂). L'unité est le mètre. Dans le cadre du travail manuel, chaque élève d'une classe TLE D doit présenter un petit jardin bien sécurisé. PIERRE a un jardin de forme triangulaire ABC dont A a pour affixe 2cos θ et B = 4 cos θ + 2i sin θ.Les distances AC et BC sont respectivement 9cm et 10cm. Il souhaite le clôturer à l'aide d'un grillage dont le mètre coute 1700frs. BLAISE a un jardin dont les limites définissent l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que |Z − 3 + i| = 10 . Il souhaite le clôturer le tiers avec du fil barbelé dont le mètre coute 2500frs, et il a prévu faire deux rangées de fils. L'évolution de 1985 à 1989 du salaire horaire moyen d'un ouvrier, dans un pays en voie de développement est donnée par la droite de régression de y en x suivante : y = (4310/28) x + 1464,32 Prendre π=3,14, V(y) = 860 1. Quelle somme va dépenser PIERRE pour clôturer son jardin ? 2. Quelle somme va dépenser BLAISE pour faire sa clôture ? 3. la corrélation linéaire entre x et y est-elle forte ou faible ?justifier
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