Mathématiques · Toumpe Intellectual Groups · Classes : Terminales D.TI · Examen de Fin de Cours de Vacances Edition 2022 · Session : Août 2022
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Exercices, méthodes & corrigés (3)
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Exercice I
Suites numériques
1. Définir : Assertion 2. Démontrer par récurrence les propositions suivantes : a) ∀n ∈ N*, ∑(k=1 à n) (n − k) = (n-1)n(n+1) / 6 b) ∀n ∈ N, ∑(k=0 à n) C(k,3) = C(n+1,4) c) ∀n ∈ N*, ∑(k=1 à n) 1/(k(k+1)(k+2)) = n / (4(n+1)(n+2)) d) ∀a∈N*, ∀n ∈N*, ∑(k=1 à n) 1/(k(k+1)...(k+a)) = 1/(a.a!) - 1/(a.(n+1)(n+2)...(n+a)) e) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N*,| sin(nx) | ≤ n| sin x | 3. On considère la suite (un) définie par u0 = 1/2 et telle que ∀n ∈ N, on a Un+1 = 3un / (1+2un) 3.1. Calculer u1 et U2 3.2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 < un 3.3. On admet que ∀n ∈ N, un < 1. Montrer que la suite (un) est croissante 3.4. Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = un / (1-un) a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3 b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n c) En déduire que Un = 3^n / (3^n+1) d) Déduire la limite de la suite (un)
10 ptsExercice II
Nombres complexes
1. Mettre sous la forme a + ib les nombres complexes suivants : a) (3+6i)/(3-4i) b) ((1+i)/sqrt(2))^2 2. On pose P(z) = iz³ + (−1 – 5i)z² + (8 + 8i)z – 12 – 4i a) Démontrer que l'équation P(z) = 0 admet une solution imaginaire pure z0 = iβ (β∈ R) que l'on déterminera b) Déterminer trois nombres complexes a, b et c tels que l'expression de P(z) = (z + 2i)(az² + bz + c) c) Calculer (1 – i)² d) Résoudre dans C l'équation iz² + (1 − 5i)z − 2 + 6i = 0 e) En déduire les solutions dans C de l'équation P(z) = 0
5 ptsProblème
Fonctions
Compétence visée : Estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon qu'il se déplace dans l'eau ou sur terre. Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d'une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l'eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s'il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l'autre rive (voir schéma). Le temps T nécessaire (en dixièmes de seconde) pour faire le trajet est donné par l'équation T(x) = 5√(36 + x²) + 4(20 – x) Taches à effectuer : 1. En combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage ? 2. Déterminer le temps nécessaire au crocodile pour qu'il rejoigne le zèbre s'il coupe la rivière au plus court. 3. Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum. Présentation 0.5pt
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