Mathématiques · Lycée de Guider · Année Scolaire 2021 2022 · Examen : Evaluation n° 1 · Classe : 1ère C
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Équations et inéquations
1. On considère le polynôme P tel que : P(x) = x³ – 6x – 9. a) Montrer que 3 est une racine du polynôme P. b) Déterminer les réels a, b et c tels que P(x) = (x – 3)(ax² + bx + c). c) Résoudre alors dans R l'équation P(x) = 0. d) Résoudre dans R l'inéquation (x³ - 6x - 9) / (-2x² + 3x + 2) ≤ 0. 2. On considère le système (S): x³ + y³ = 9 xy = 2 a) En remarquant que (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, montrer que x³ + y³ = (x + y)³ – 6(x + y). b) Déduire des questions 1 et 2a) la solution du système (S).
4 ptsExercice 2
Trigonométrie
1. a) En utilisant les formules d'addition, exprimer le produit cos a cos b en fonction de cos(a + b) et de cos(a – b). b) En posant a + b = p et a − b = q, démontrer que cos p + cos q = 2 cos((p + q)/2) cos((p - q)/2). 2. a) Calculer cos(π/12) cos(5π/12), puis cos(π/12) + cos(5π/12). b) En déduire les valeurs exactes de cos(π/12) et de cos(5π/12). 3. Résoudre dans ]-π; π] l'équation cos x + cos 2x + cos 3x = 0 puis représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
3 ptsExercice 3
Équations et inéquations
1. On considère les systèmes suivants : (S) x - 2y + 3z = -1 -2x + 4y - 2z = 6 2x + 2y - z = -6 , (S') { (x-1)/(x-2) - 2|y| + 3z² = -1 3/(x-1) + 4|y| - 2z² = 6 2/(x-1) + 2|y| - z² = -6 a) Résoudre dans R³ par la méthode du pivot de Gauss le système (S). b) En déduire les solutions dans R³ du système (S'). 2. Résoudre dans R les équations et inéquations suivante (I) : -x + √(2 - x) < 10; (E) : x - √(2x + 1) = 7; (F) : x - 5√x + 4 = 0.
5 ptsExercice 4
Trigonométrie
Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1. a) Vérifier que 4 – 2√3 = (1 - √3)². b) Résoudre dans R l'inéquation : 4x² - 2(1 + √3)x + √3 ≥ 0. c) En déduire la résolution dans [0,2π[ de (I) : 4sin²x − 2(1 + √3) sin x + √3 ≥ 0. 2. Soit x un nombre réel différent de (2k + 1)π. a) Montrer que cos²x = 1 / (1 + tan²x). b) On pose t = tan(x/2). Montrer que cos x = (1 - t²) / (1 + t²) et que sin x = (2t) / (1 + t²).
3.5 ptsProblème
Barycentre
Situation : M. AMOUGOU achète un terrain accidenté de forme rectangulaire d'aire 240m². Afin de faciliter le transport des cultures d'un bout à l'autre il y crée une route de longueur 26m le long de la diagonale (voir fig. 1 ci-dessous). L'entreprise Nextel Cameroun décide d'y implanter une antenne réseau, pour cela le technicien affirme : « Il existe un point H de la surface du terrain délimité par le triangle ABC où l'antenne sera en parfaite équilibre, où la qualité du réseau sera donc bonne et vérifiant H = bar{(A; a² + 2a – 40); (B; 5a + 8); (C; a - 33)} avec a ∈ R ». M. AMOUGOU désire également faire de l'élevage dans la partie II de son champ (partie délimitée par le triangle ADC). Pour cela, il fait appelle à des techniciens pour l'aménagement du site. Pour les entretenir, sa femme se rend au marché et achète des pastèques, des ananas et des oranges dont les prix à l'unité sont respectivement 500 frs, 350frs et 200frs. Elle achète un total de 15 fruits pour une somme de 4650frs. Tâche 1 : Aide M. AMOUGOU à retrouver les dimensions de son terrain. Tâche 2 : Comment faut-il choisir le réel "a" pour que la qualité du réseau Orange soit bonne dans cette localité ? (On demande l'ensemble des valeurs de "a") Tâche 3 : Déterminer les nombres possibles de fruits sachant que Madame AMOUGOU a acheté au 3 fruits de chaque variété.
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