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Exercices, méthodes & corrigés (22)
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Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Arithmétique
1º) La division de 900 par un entier naturel b a pour quotient 14 et pour reste r. Quelles sont les valeurs possibles de b et r ? 2°) Déterminer les entiers naturels n dont la division euclidienne par 16 a un reste égal au carré du quotient. 3°) Soit q et r le quotient et le reste de la division euclidienne d'un entier naturel a par un entier naturel b. Sachant que a + b + r = 3025 et q = 50. Rétablir la division.
Exercice 10
Arithmétique
On note n un entier non nul, p l'entier naturel 3n + 1 et q l'entier naturel 5n – 1. 1º) Démontrer que le PGCD de p et q est diviseur de 8. 2°) Pour quelles valeurs de n, ce PGCD est-il égal à 8? Calculer alors le PPCM de p et q.
Exercice 11
Arithmétique
1º) Trouver trois entiers naturels a, b, c différents de 1, premiers entre eux deux à deux et tels que: a × b x c = 495. 2°) x, y, z étant des chiffres de la base dix, on considère le nombre A = x13y8z en base dix. Déterminer tous les triplets (x, y, z) pour lesquelles A est divisible par 495.
Exercice 12
Arithmétique
Soit le système (S) : {x = 10[23] x = 4[7]} 1º) Déterminer un couple d'entier (α; β) solution de 23α + 7β = 1. 2°) En déduire un couple (uo; vo) solution de l'équation ci-dessous puis résoudre complètement cette équation : 23u – 7v = −6. 3°) Démontrer que x est solution de (S) si et seulement si il existe (u; v) couple d'entier vérifiant: {23u - 7v = -6 x = 10 + 23u} En déduire l'ensemble des solutions de (S). 4°) Déterminer la plus petite solution entier naturel xo divisible par 16.
Exercice 13
Arithmétique
1°) On considère dans Z² l'équation (E₁) : 11x + 8y = 79. a) Montrer que si (x, y) est solution de (E1) alors y = 3[11] b) Résoudre alors l'équation (E₁). 2°) Le prix total de 41 pièces détachées, réparties en trois lots, est de 48000 F. - Le prix d'une pièce du premier lot est de 4800 F. - Le prix d'une pièce du deuxième lot est de 3600 F. - Le prix d'une pièce du troisième lot est de 400 F. Déterminer le nombre de pièces de chaque lot.
Exercice 14
Arithmétique
1°) a) Montrer en utilisant l'algorithme d'Euclide qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que: 324u + 245v = 1. b) Déduire de ce qui précède une solution particulière (xo; yo) dans Z² de l'équation (E) : 324u – 245v = 7 et résoudre dans Z² cette équation. 2°) On considère la fraction A(n) = (n+16)/(n-2) où n est un entier naturel strictement supérieure à 2. a) Montrer que l'on peut écrire A(n) sous la forme: a + b/(n-2) où a et b sont deux entiers naturels à déterminer. b) Pour quelles valeurs de n, A(n) est-il un entier naturel ? c) Pour quelles valeurs de n, A(n) est-il irréductible ? 3°) Déterminer l'entier naturel n tel que 2 × 3^n + 1 soit divisible par 11. 4°) Trouver les couples d'entiers naturels (a, b) tels que : 2m - d = 220 où m = PPCM(a, b) et d = PGCD(a, b).
Exercice 15
Arithmétique
1º) Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b (a < b) tels que : m = PPCM(a, b) et d = PGCD(a, b) vérifient les relations suivantes {m + d = 126 5 < d < 10} 2°) Effectuer la division euclidienne de a par b pour a = -532 et b = -71. 3°) Effectuer les opérations suivantes : (FACE)₁₆ ; (BEC)₁₆ ; (3421)₅ + (240)₅ ; (3421)₅ × (230)₅
Exercice 16
Arithmétique
I/ 1. Soit n ∈ N. a) Déterminer, suivant les valeurs de n le reste de la division par 7 de l'entier 3^n. En déduire le reste de la division par 7 de l'entier naturel (506390)^128. b) Dans le système de numération décimal, on considère l'entier naturel 651x . Déterminer x pour que (506390)^128 + 651x soit divisible par 7. 2. a) Déterminer le plus grand diviseur commun des nombres 21590 et 9525. b) Déterminer l'ensemble des entiers x tels que: 34x = 2[15]. c) Résoudre l'équation: (x, y) ∈ Z²: 21590x + 9525y = 1270. d) Quel est le chiffre des unités de l'entier naturel 7^1980 écrit dans le système décimal ? II/ On considère l'entier naturel A qui s'écrit 1x416 dans le système de numération de base sept. 1º) Déterminer x pour que : a) A soit divisible par six. b) A soit divisible par cinq. c) En déduire qu'il existe x tel que A soit divisible par trente. 2°) On donne à x la valeur zéro, déterminer l'écriture décimale de A. Dans ce cas quel est le nombre de diviseurs positifs de A? Quel est l'ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois ?
Exercice 17
Arithmétique
I/ 1º) Montrer que : 4x⁴ + 3x² + 1 = (2x² + x + 1)(2x² – x + 1). 2º) En déduire que dans tout système de numération de base b supérieure ou égale à 5 le nombre (40301)b est divisible par (211)b. 3°) Que vaut le quotient de la division de (40301)b par (211)b quand b = 9 ? II/ Dans le système de numération de base 3, un nombre s'écrit: (2101)₃. 1º) Dans quel système de numération n ce nombre s'écrit: (224)n ? 2°) Existe-t-il un système de numération dans lequel il s'écrit: (174)x ? 3°) Soit a un entier naturel strictement supérieur à 2. On considère les nombres N = 2(a - 1) et N' = (a - 1)². Écrire N et N' dans le système de base a. 4°) Démontrer que dans tout système de numération de base b (avec b≥4) le nombre (1331)b est le cube d'un entier x. III/1°) On veut recouvrir une surface rectangulaire de 4,75m sur 3,61m avec des dalles carrées dont le côté mesure un nombre entier de centimètres. Quelle est la taille maximale de ces dalles ? 2°) Soit le nombre n qui s'écrit dans la base dix, n = y17x35 ; trouver x et y pour que n soit divisible par 9 et 11.
Exercice 18
Arithmétique
Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines pièces. 1º) Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur 4,54m et de largeur 3,75m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de 33 cm de côté. On commence la pose par un coin de la pièce comme le suggère la figure 1. Figure 1 Calculer le nombre de carreaux non découpées qui auront été posés. 2°) Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55m et de largeur 3,85m. On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. a) Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385. b) Donner la liste des diviseurs communs à 455 et 385. c) Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées à utiliser pour carreler cette cuisine ? 3°) On dispose de dalles rectangulaires de longueur 24cm et de largeur 15cm. a) Donner la liste des multiples de 24 inférieurs à 400, puis la liste des multiples de 15 inférieurs à 400. b) Donner la liste des multiples communs à 24 et 15 inférieurs à 400. c) Quelle serait la longueur du côté de la plus petite pièce carrée qui pourrait être carrelée avec un nombre entier de dalles de ce type, sans aucune découpe ?
Exercice 19
Arithmétique
I/ Deux commerçantes, Awa et Fanta se rendent au marché pour acheter des mangues. Chaque mangue coute 5F l'unité. Awa dit à Rokia, je dispose d'un montant égal à m₁ Francs et Rokia répond, moi aussi j'ai une somme égale à m₂ Francs. L'entier m₁ s'écrit (1x00y2)₈ dans le système de numération de base huit et m₂ s'écrit (x1y003)₇ dans le système de numération de base sept. 1º) Déterminer les chiffres x et y pour que chacune des deux commerçantes puisse, avec la totalité de son argent, acheter un nombre maximum de mangues. 2°) Déterminer le montant que dispose chacune des commerçantes. En déduire le nombre de mangues que chacune d'elles peut acheter. 3°) a) Décomposer m₁ et m₂ en produit de facteur premiers. b) En déduire le nombre de diviseurs de m₁ et m₂ puis le PGCD(m₁; m₂) 4°) Résoudre dans Z l'équation : m₁u + m₂v = 5 où u et v sont deux entiers relatifs. II/ Le vieux Moussa a laissé son héritage dans un coffre dont la combinaison comporte les cinq chiffres x, y, z, t et h dans cet ordre, du système décimal. Il a mentionné sur son testament que sa fortune reviendrait à celui de ses héritiers qui trouverait la combinaison à partir des données suivantes : * Le 1er chiffre est pair; * La somme des deux premiers chiffres est 15; * Le troisième est la différence des deux premiers (le 1er moins le 2ème); * Le 1er chiffre est le produit du troisième par le quatrième ; * Le nombre est divisible par 9. Quelle est la combinaison cherchée ?
Exercice 2
Arithmétique
1°) Démontrer par récurrence que : a) ∀n∈N*: 1+2+3+…………+n = n(n+1)/2 b) ∀n∈N*: 1+3+5+...+(2n - 1) = n² c) ∀n∈N: Σ(k=1 to n) k(k + 1)(k + 2) = n(n + 1)(n+2)(n+3)/4 d) ∀ n ≥ 1: 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) +…………+ 1/(n(n+1)) = n/(n+1) e) ∀n∈N: 3^(3n+2) + 2^(n+4) est divisible par 5. f) ∀n∈N: Σ(k=1 to n) k2^(k-1) = (n-1)2^n + 1 h) ∀n∈N*: Σ(k=1 to n) k(k + 1) = n(n + 1)(n+2)/3 i) ∀ n ≥ 5 : 2^n > 5(n + 1) 2°) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : a) 3^(n+3) - 4^(4n+2) est divisible par 11. b) 3 x 5^(2n+1) + 2^(3n+1) est divisible par 17. c) 4^n + 15n - 1 est divisible par 9. d) n^7 - n est divisible par 7. e) n(n²-1) est multiple de 5.
Exercice 20
Arithmétique
On considère l'équation (E): 8x + 5y = 1, où (x, y) est un couple de nombres entiers relatifs. 1º) a) Donner une solution particulière de l'équation (E). b) Résoudre l'équation (E). 2°) Soit N un entier naturel tel qu'il existe un couple (a, b) de nombres entiers vérifiant: {N = 8a+1 N = 5b + 2} a) Montrer que le couple(a, b) est solution de (E). b) Quel est le reste, dans la division de N par 40? 3º) a) Résoudre l'équation 8x + 5y = 100, où (x; y) est un couple de nombres entiers relatifs. b) Au VIIIe siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes ont a dépensé 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe.
Exercice 21
Arithmétique
1º) Résoudre dans N² l'équation : x³ - y³ = 631. 2°) a) Trouver le reste de la division euclidienne de 111 par 7 et de 10^n par 7 suivant les valeurs de l'entier naturel n. b) Soit l'entier naturel N = 999 888 777 666 555 444 333 222 111. - Montrer que N peut s'écrire en fonction de 111. - Quel est le reste de la division euclidienne de N par 7
Exercice 22
Arithmétique
I/ 1) On veut entourer avec un minimum d'arbres un champ rectangulaire ayant pour dimensions 525 m et 285 m. Les arbres seront régulièrement espacés, de plus, il y aura un arbre à chaque sommet du rectangle. Calculer : a) La distance comprise entre deux arbres. b) Le nombre d'arbres nécessaires pour entourer le champ. 2) On considère l'équation (E): 11x − 26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs. a) Vérifie que le couple (–7 ; 3) est une solution de (E). b) Résous alors l'équation (E). c) En déduis le couple d'entiers relatifs (p, q) solution de (E) tel que : 0 <= p <= 25 II/ On appelle nombre triangulaire tout entier naturel qui peut s'écrire sous la forme a(a+1)/2 (avec a ∈ N). 1°) Démontrer que si n est la somme de deux nombres triangulaires, alors 4n + 1 est la somme de deux carrés. 2°) On pose n = 3. 4n + 1 est-il la somme de deux carrés d'entiers ? Étudier la réciproque de la propriété 1°).
Exercice 3
Arithmétique
I/ 1º) Déterminer suivants les valeurs de l'entier naturel n, les restes de la division euclidienne de: 5^n par 11 ; 2^n par 5 ; 6^n par 11 2°) Déterminer le reste de la division euclidienne de : 2^2019 par 5 ; 7^2002 + 2 par 9 ; 11^1999 par 7 II/ Résoudre dans Z les équations suivantes : a) 14x + 21y = 7; 5p + 3q = 7 ; 4u - 8v = 3 b) 11u – 7v = -4; 7x - 21y = 4; 34p - 15q = 2 c) 5x + 3y = 7; 11x - 26y = 1; 2x - 3y = 3 III/1°) On désigne respectivement par a et b (entiers naturels non nuls) la longueur et la largeur mesurées en mètres d'un rectangle. Sachant que a = 72 et que le plus petit multiple commun à a et b est 216, quelles sont les valeurs possibles de b? 2°) Trouver les diviseurs dans N de l'entier 240. Calculer l'entier naturel n tel que n² - 240 est un carré parfait.
Exercice 4
Arithmétique
1) Soit l'entier naturel N = 1323. a) Décomposer N en produit de facteur premier. b) Déterminer le nombre de diviseurs de N et trouver tous les diviseurs de N. c) Écrire N dans le système de numération de base 2 et 3. 2) Déterminer n entier naturel pour que An = n² + n + 12 soit divisible par Bn = n + 1.
Exercice 5
Arithmétique
I-Résoudre dans Z les équations et systèmes suivants : a) 5x = 1[6] ; 15x = 25[35] ; 424+161x = 0[16] ; x² + 2x = 6[9] b) x∈(Z/5Z):2x + 1 = 0 x∈(Z/15Z) : x² - 6x + 5 = 0 x∈(Z/6Z) : x² + x + 6 = 0 ; {2x-4y=2 x+5y=2 x²+y²=0} c) {x = 2[3] x = 1[4]} ; {2x = 3[7] 9x = 4[11]} ; {y = 2 x.y = -1} ; {x = 3[11] x = 4[15]} II/1º) Un nombre s'écrit x43y dans la base dix. Déterminer x et y pour qu'il soit divisible par 2 et 9. 2°) Un nombre s'écrit 724x5 dans le système décimal. Déterminer x pour qu'il soit divisible par 9. 3º) Un nombre s'écrit 28x75y dans le système décimal. Déterminer x et y pour qu'il soit divisible par 3 et par 11. 4°) Déterminer les entiers naturels n et p tels que : n² - p² = 28
Exercice 6
Arithmétique
1º) Résoudre dans N² les systèmes suivants: a) {x + y = 60 PGCD(x,y) = 12} b) {PGCD(x, y) = 27 PPCM(x, y) = 108} c) {PGCD(x, y) = 13 x.y = 14196} d) {PPCM(x,y) = 168 x.y = 1008} e) {x + y = 56 PPCM(x,y) = 105} f) {PGCD(x; y) = 354 x + y = 5664} g) PPCM(x; y) + PGCD(x; y) = y +9; h) 2(PPCM(x,y)) + 3(PGCD(x,y)) = 78 i) {x + y = 651 x.y = 108} ; j) {x.y = 120 x² + y² = 801} ; k) {x + y = 96 PGCD(x,y) = 4} 2°) Déterminer l'ensemble des couples (a, b) d'entiers naturels tels que : PPCM(a, b) = m ; PGCD(a, b) = d vérifiant les relations suivantes {m + d = 126 m - 3d = 108} 3°) Déterminer l'ensemble des couples (a, b) d'entiers naturels tels que : a) {m - 3d = 108 m + d = 15} b) {2m + 3d = 11 m - 3d = 19} c) {m² - 3d² = 1998 m + 3d = 276} d) {m + 3d = 276 10 < d < 30}
Exercice 7
Arithmétique
I-Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres a = n³ - n² - 12n et b = 2n² - n - 4 1°) Montrer que a et b sont des entiers naturels divisibles par n - 4. 2°) On pose α = 2n + 1 et β = n + 3. On note d le PGCD de α et β. a) Établir une relation entre α et β indépendante de n. b) Démontrer que d est un diviseur de 5. c) Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n – 2 est multiple de 5. 3°) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4°) Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b. b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.
Exercice 8
Arithmétique
I/ Un général décide de compter son troupe de soldats, il leur ordonne de se ranger en rang de 16 il reste 3 soldats, il leur ordonne de se ranger en rang de 25, il reste 5 soldats sachant que la troupe est constituée de moins de 400 soldats combien y'a-t-il de soldats ? II/1) Résoudre dans ZxZ l'équation d'inconnue (p, q) : 11p – 7q = 1. 2) a) La division euclidienne d'un entier naturel n par 7 donne pour reste 4 ; le même entier divisé par 11 donne pour reste 3. Quel sera son reste dans la division par 77 ? b) Déterminer les valeurs de l'entier naturel n inférieurs à 200.
Exercice 9
Arithmétique
I- N et M sont deux nombres tels que : N s'écrit 3a3a et M s'écrit (bca35)₇. 1°) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel n le reste de la division de 6^n par 11. 2°) Résoudre dans Z² l'équation : 7x + y = 46. 3°) Sachant que N est divisible par 11 et que le couple (b ; c) est solution de 7x + y = 46. Donner les écritures en base 4 de N et en base 7 de M. 4°) Déterminer l'entier naturel n tel que M est congru à 3 modulo 5. 5°) a) Écrire dans le système décimal M et N. b) Résoudre dans N² le système d'inconnues a et b. {PPCM(a, b) = M - N PGCD(a, b) = 5N + 14}
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