Mathématiques · Groupe «les Competents» · Tlec · Décembre 2022
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Quiz Flash
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Exercices, méthodes & corrigés (5)
Chaque exercice de l’épreuve est isolé par l’IA : lisez l’énoncé, ouvrez la méthode pour être guidé sans réponse, ou le corrigé pour la résolution complète.
Méthodes et corrigés
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Exercice 1
Nombres complexes
On considère les nombres complexes z₁ = 1 + i√3 et z2 = 2 – 2i 1. Déterminer la forme algébrique de z = Z1 XZ2 2. Déterminer la forme trigonométrique de z = Z1 × Z2 3. En déduire les valeurs exactes de cos (π/12) et de sin (π/12)
Exercice 2
Nombres complexes
1. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on donne A, B et C d'affixes respectives a = i√3, b = (1-√3)/2 (1 - i) et c = 1/2 + 1/2 i. Donner la nature exacte du triangle ABC 2. Déterminer un module et un argument de chacun des complexes suivants Z₁ = 1 + cos a + i sin a, a ∈ [0, π[ et z2 = −2(cos 3 + i sin 3) 3. Résoudre dans l'ensemble C, l'équation z − 2 + 3i = i(2z − 3i) + 5i 4. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que {a + b = -4 + i ; ab = 1 + 13i 5. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |2iz – 4 + 2i| = 6 6. On pose u = -√(2 - √(2 - √(2 + √2))). Calculer u² puis déduire le module et un argument de u. En déduire les valeurs exactes de cos (5π/8) et de sin (5π/8) 7. Résoudre dans C l'équation z^(2n) – 2 z^n cos a + 1 = 0 (n∈N*) 8. Résoudre dans C l'équation z² - 2 z + 1 - e^(i2θ) = 0 puis donner le module et un argument de chacune des solutions. 9. On pose z' = (z+2i)/(z-2) déterminer l'ensemble des points M(z) tels que z' ∈ iR
Exercice 3
Nombres complexes
1. Déterminer les racines quatrièmes de l'unité sous forme algébrique 2. En déduire la résolution dans C de l'équation (z/(z-1))^4 = 1
Exercice 4
Transformations du plan
Soit f l'application du plan complexe dans lui-même qui à tout point M(z) où z = x + iy associe le point M(z'), z' = x' + iy' tel que {x' = x + y -2 ; y' = -x + y + 1 1. Déterminer les coordonnées du point invariant Ω par f 2. Déterminer l'écriture complexe de f 3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f 4. Déterminer une équation de l'image par f de la droite d'équation x - 2y + 2 = 0 5. Déterminer l'image du cercle de centre I(0, 1) et de rayon r = 2
Exercice 5
Nombres complexes
On considère l'équation (E) : 3z³ − (4 + 6i) z² + (2 + 8i) z − 4i = 0 1. Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure zo que l'on déterminera 2. Trouver trois complexes a, b et c tels que 3z³ – (4 + 6i) z² + (2 + 8i) z − 4i = (z − zo)(az² + bz + c) 3. En déduire les solutions dans C de l'équation (E).
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